Dado una función continua. Mostrar que existe x, y con x ≠ y tal que f(x) = f(y)

Question

Dada una función continua $f: \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{R}$ con: $$\lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = 0$$ $$\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x) = 0$$ $$f(x)>0 \, \forall \, x \in \mathcal{R}$$

Demuestra que existen $x,y \in \mathcal{R}$ con $x\neq y$ tal que $f(x)=f(y)$.

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En esta pregunta no se da ningún intervalo. Lo que quiero hacer es demostrar que hay un máximo y luego usar el teorema del valor intermedio. Pero no sé cómo hacerlo sin ningún intervalo dado. ¿Es suficiente decir que debido al límite para x hacia el infinito y menos infinito y f(x)>0 debe existir un valor máximo? Ya que f(x) no puede ser cero.

Espero ver tus sugerencias.

Answer 1

PISTA: Toma cualquier $x_0$ para empezar. Entonces $f(x_0)>0$ y $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0$ implican que

• hay un $x tal que $f(x) = \frac{f(x_0)}{2}$, porque a medida que $x$ va de $x_0$ a $-\infty$ y $f(x)$ desaparece, el valor de $f(x)$ debe pasar por $\epsilon$, para cada $\epsilon$ que cumpla $f(x_0)>\epsilon>0$.

• hay un $y>x_0$ tal que $f(y) = \frac{f(x_0)}{2}$.

Allí están tus $x,y$.