Defina una Relación R en el conjunto de números reales de la siguiente manera:

Question

(x,y) R si y solo si |x+y| = |x|+|y|. ¿Es reflexivo? ¿Simétrico? ¿Transitivo? ¿Es una relación de equivalencia?

Mi intento:

Reflexivo: Sí, es reflexivo. |x+x| = |x|+|x| => 2|x|=2|x| lo cual es verdadero.

Simétrico: Sí, es simétrico (?). Supongamos (x,y) R si y solo si |x+y| = |x|+|y|. Queremos mostrar (y,x) R si y solo si |y+x| = |y|+|x|. De hecho |y+x| = |y|+|x|.

Transitivo: Supongamos (x,y) R si y solo si |x+y| = |x|+|y| y (y,z) R si y solo si |y+z| = |y|+|z|. Queremos mostrar (x,z) R si y solo si |x+z| = |x|+|z|. No estoy seguro de por dónde empezar para este.

Realmente no sé cómo probar el simétrico y el transitivo.

Answer 1

Sea $x=1$, $y=0$, y $z=-1$. Entonces $x\sim y$ y $y\sim z$, pero $x\not\sim z$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $|x+y|=|x|+|y|$ si y solo si $|x+y|^2=(|x|+|y|)^2$, lo cual se simplifica a $|xy|=xy$.

Por lo tanto, su relación puede ser reescrita como $$ (x,y)\in R\text{ si y solo si } \begin{aligned}[t] &(x>0\text{ y }y>0)\text{ o} \\ &(x<0\text{ y }y<0)\text{ o} \\ &(x=0\text{ o }y=0) \end{aligned} $$ Ahora puedes demostrar más fácilmente que la relación es reflexiva y simétrica, pero no transitiva, esencialmente porque $(0,z)\in R$, para cada $z$.

Si fuera transitiva, sería una relación de equivalencia, pero la clase del $0$ sería el conjunto completo y la relación claramente no es la relación trivial que contiene cada par.