¿Después de cuántos rebotes la energía mecánica de una pelota será igual a cero?

Question

Esta fue una pregunta que me hice por diversión. Resultó ser más difícil de lo que imaginaba inicialmente.

El problema: Digamos que una pelota se deja caer desde h0. La fricción del aire es despreciable. Las colisiones entre la pelota y el suelo son inelásticas, por lo que la energía mecánica no se conserva. ¿Después de cuántos rebotes la pelota se detendrá?

Mi proceso de pensamiento: No estaba seguro si el cambio en la energía mecánica después de un rebote es constante. Supuse que no lo era, y una función exponencial es más probable (aunque no tengo idea de cómo probar esto, aparte de llevar a cabo un experimento. ¿Hay una prueba teórica? Intenté pensar en ello pero no pude encontrar nada por escrito.) Si modelamos el cambio en la energía mecánica como una función exponencial, podemos graficarlo con la energía mecánica del sistema bola-tierra en el eje $y$, y el número de rebotes $n$ en el eje $x$. Entonces se vuelve obvio que el número de rebotes tiende a infinito a medida que la energía se acerca a cero Joules. ¡Pero la pelota obviamente no puede rebotar un número infinito de veces!

¿Entonces qué pasa?

Answer 1

Nunca, si tratas el problema con las leyes de la mecánica clásica, consideras tanto la pelota como el suelo como "macroscópicamente" rígidos, y no estableces un umbral $\overline{h}$ por debajo del cual lo consideras en reposo.

Es el mismo problema que nos dio mi profesor en la escuela secundaria, también preguntándonos por el espacio cubierto por la pelota durante estos rebotes. Lo puso en una prueba, y no sabíamos nada sobre series: como verás leyendo toda la respuesta, eso podría ser un problema. De todos modos, estoy muy agradecido con ese profesor que nos obligó a pensar, a no acostumbrarnos a pruebas estándar (sus pruebas eran mucho más desafiantes que muchas en Ingeniería) y a trabajar de manera apropiada de forma ordenada, y me sentí muy orgulloso de obtener (casi, olvidé el factor 2) la respuesta correcta en esa prueba. Siento que es una de las personas más importantes en mi vida.

Comenzando desde la altura $h_0$ sobre el suelo, la bola tiene energía mecánica total $E_0 = m g h_0$. Si la colisión inelástica disipa $\varepsilon E_{before}$, la energía mecánica total después del primer rebote (y antes del segundo rebote) es $E_1 = (1 - \varepsilon) E_0 = \eta E_0$, y la altura máxima es $$h_1 = \frac{E_1}{m g} = \frac{\eta E_0}{m g} = \frac{\eta \, m g h_0}{m g} = \eta h_0 \ .$$

La altura máxima alcanzada entre el $n^{th}$ y el $(n+1)^{th}$ rebote es

$$h_n = \eta^n h_0 \ .$$

Si estableces el umbral $\overline{h}$, solo necesitas resolver el problema

$$\text{min} \, n \in \mathbb{N} \text{ tal que } \overline{h} \ge h_n = \eta^n h_0 \ ,$$

es decir,

$$\text{min} \, n \in \mathbb{N} \text{ tal que } \log_\eta \frac{\overline{h}}{h_0} \ge n \ .$$

o puedes resolver para $n \in \mathbb{R}$ y tomar el techo, es decir, el número entero más pequeño mayor que $n$.

Bonus. La respuesta a la pregunta de mi profesor implica la serie geométrica $\sum_{n=1}^{\infty} \eta^n = \frac{1}{1 - \eta}$ y se lee

$$y^{tot} = h_0 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} h_n = h_0 + 2 h_0 \sum_{n=1}^{\infty} \eta^n = h_0 \left( 1 + 2 \frac{1}{1 - \eta} \right) \ .$$

Answer 2

Primera aproximación: la pelota y la superficie son perfectamente rígidas. Esto implica que la colisión es instantánea y, por lo tanto, elástica. La altura del rebote siempre es la misma.

Segunda aproximación: la pelota y la superficie son cuerpos elásticos deformables, no disipativos. Ahora las colisiones no son instantáneas, pero aun así no se pierde energía. La altura del rebote siempre es la misma.

Tercera aproximación: la pelota y la superficie son cuerpos elásticos deformables, disipativos (si prefieres: solo la pelota es deformable, la superficie es rígida). El rebote se detiene cuando la energía restante es solo suficiente para causar vibraciones dentro de la pelota, pero no para levantar la pelota por encima de la superficie. La energía cinética total del sistema se distribuye entre la vibración y el movimiento arriba y abajo; decae aproximadamente exponencialmente con el tiempo, pero en algún momento la amplitud de las vibraciones en la superficie de la pelota en relación a su centro se vuelve mayor que la amplitud del movimiento del centro arriba y abajo, y así la pelota permanece continuamente en contacto con la superficie después de eso.

Cuántos rebotes son una pregunta muy difícil, porque (1) la pelota está vibrando mientras está en el aire, así como durante una colisión, y esas vibraciones también se amortiguan porque está hecha de un medio elástico disipativo, y (2) lo que sucede durante cada colisión con el suelo depende de la fase relativa de las vibraciones de la pelota en ese momento. A veces golpea "en fase" (la colisión tiene una velocidad menor porque la superficie de la pelota se movía hacia el centro de la pelota en el momento en que golpea; después de eso, las vibraciones son más fuertes), y a veces "fuera de fase" (la colisión tiene una velocidad mayor porque la superficie de la pelota se alejaba del centro de la pelota en el momento en que golpea; después de eso, las vibraciones se reducen considerablemente o cambian de fase dependiendo de qué tan fuerte sea la colisión); o cualquier fase relativa intermedia. Puedes observar este efecto al botar un balón de baloncesto. Creo que las colisiones "en fase" pierden más energía durante la colisión en sí misma, porque la deformación es mayor. Pero la versión abreviada es que lo que sucede durante una colisión no se puede predecir solo a partir de la velocidad del centro de masa de la pelota.

Por último, una pelota elástica sólida puede tener múltiples modos vibratorios, cada colisión los excitaría a todos (pero no en la misma medida). La vibración real es una superposición de estos.

(desde Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, Russel Herman)

Estos dos últimos fenómenos son casi imposibles de modelar sin una simulación muy cuidadosa de elementos finitos de la pelota; no esperes algo como una fórmula que te diga "cuántos rebotes".