Encontrar una base dual a partir de una base en $\mathbb R^2$

Question

Dado el hecho de que estos dos vectores forman la base B de $\mathbb R^2$: $$B=\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\}$$

y luego se me pide encontrar la base dual o la base de $(\mathbb R^2)^*$.

Agradecería mucho si alguien pudiera explicar el procedimiento a seguir para este tipo de preguntas.

Answer 1

Entonces, espero que conozcas la definición de bases duales: dada una base $(v_1, v_2)$ para $\mathbb{R}^2$, es una base $(f_1, f_2)$ para $(\mathbb{R}^2)^*$ tal que $f_1(v_1) = f_2(v_2) = 1$ y $f_1(v_2) = f_2(v_1) = 0$.

Recuerda que $(\mathbb{R}^2)^*$ es esencialmente $\mathbb{R}^2$. Cada funcional lineal $f$ en $\mathbb{R}^2$ se puede expresar como: $$f(x, y) = x f(1, 0) + y f(0, 1) = (x, y) \cdot (f(1, 0), f(0, 1)),$$ lo que nos permite mapear lineal y biyectivamente $f \in (\mathbb{R}^2)^*$ a $(f(1, 0), f(0, 1)) \in \mathbb{R}^2$. Usando este vector para encontrar la imagen de $(x, y)$ bajo $f$ es tan simple como tomar el producto punto. Así que podemos centrarnos en encontrar vectores $w_1, w_2 \in \mathbb{R}^2$ tales que

$$v_1 \cdot w_1 = v_2 \cdot w_2 = 1 \text{ y } v_1 \cdot w_2 = v_2 \cdot w_1 = 0.$$

Ahora, hay una manera simple de construir tales vectores. Si puedes encontrar una matriz $A$ tal que $$A \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},$$ entonces las filas de $A$ son la base dual que necesitas. ¿Por qué? Solo piensa en la multiplicación de matrices. Para obtener la entrada superior izquierda del producto (es decir, $1$), tomas el producto punto de la primera fila de $A$ (es decir, $w_1$) con la primera columna de $\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$, es decir, $v_1$. Observaciones similares muestran que las filas de $A$ deben ser la base dual.

Es decir, la base dual será las filas de $$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -2 \end{bmatrix},$$ lo que significa que es $((-1, 3), (1, -2))$. Como mapas lineales, $$\begin{align*} f_1(x, y) &= -x + 3y \\ f_2(x, y) &= x - 2y. \end{align*}$$ Debes verificar que cumple con la definición de base dual.

Este método se extiende más allá de $\mathbb{R}^2$, por supuesto. Solo resultará en una matriz más grande para invertirlo.

Answer 2

$(\mathbb{R}^2)^*$ consiste en mapas lineales $\ell:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ que tienen una representación de matriz estándar $$\begin{bmatrix} a&b \end{bmatrix}$$ donde $a=\ell(e_1)$ y $b=\ell(e_2)$ para $e_1,e_2$ la base estándar. Escribamos tus vectores de base como $b_1,b_2$ respectívamente. La base dual es la base $(\phi_1,\phi_2)$ para $(\mathbb{R}^2)^*$ que satisface $\phi_i(b_j)=\delta_{ij}$ para $\delta_{ij}=1$ con $i=j$ y $0$ en otro caso. Entonces, $\phi_1(b_1)=1$ y $\phi_1(b_2)=0$. Notamos que $b_2-b_1=e_1$. Entonces, $$\phi_1(e_1)=\phi_1(b_2-b_1)=\phi_1(b_2)-\phi_1(b_1)=-1.$$ De manera similar, $3b_1-2b_2=e_2$ así que $$\phi_1(e_2)=\phi_1(3b_1-2b_2)=3\phi_1(b_1)-2\phi_1(b_2)=3.$$ Por lo tanto, $\phi_1$ tiene representación de matriz $$\begin{bmatrix} -1&3 \end{bmatrix}.$$ Aplicando el mismo razonamiento, obtenemos $$\phi_2(e_1)=\phi_2(b_2-b_1)=\phi_2(b_2)-\phi_2(b_1)=1$$ $$\phi_2(e_2)=\phi_2(3b_1-2b_2)=3\phi_2(b_1)-2\phi_2(b_2)=-2.$$ Entonces, $\phi_2$ tiene representación de matriz $$\begin{bmatrix} 1&-2 \end{bmatrix}.$$ Un cálculo sencillo revela que efectivamente estos $\phi_1,\phi_2$ satisfacen $\phi_i(b_j)=\delta_{ij}$.

Answer 3

Quieres un par de vectores $v^1, v^2$ tales que $v^iv_j = \delta^i_j = \begin{cases}1, i=j\\0, i\neq j\end{cases}$.

Entonces, $v^1=(-1,3), v^2=(1,-2)$ funcionarían.

Para $v^1$ obtienes el sistema $\begin{cases}2x+y=1\\3x+y=0\end{cases}$, y de manera similar para $v^2$.