¿Alguien puede ayudarme con esta desigualdad algebraica?

Question

Encontré esta desigualdad en Twitter y no puedo parecer demostrar la afirmación.

Demuestra que para $a,b,c > 0$ eso

$$ \frac{a+b+c}{2} \geq \frac{ab}{a+b} + \frac{ac}{a+c} + \frac{bc}{b+c} $$

Después de una hora (y un crujido en el cuello) solo he podido convertirlo en

$$ a^3(b+c)+b^3(a+c)+c^3(a+b)-2abc(a+b+c) \geq 0 $$

y ni siquiera estoy seguro si eso es mucho mejor.

Answer 1

Tenemos que por la desigualdad HM-AM

$$\frac{ab}{a+b} + \frac{ac}{a+c} + \frac{bc}{b+c}=\frac{1}{\frac1a+\frac1b} + \frac{1}{\frac1a+\frac1c}+ \frac{1}{\frac1b+\frac1c} \le$$ $$\le\frac{a+b}4+\frac{a+c}4+\frac{b+c}4=\frac{a+b+c}2$$

Answer 2

Dado que $(3,1,0)\succ(2,1,1),$ tu desigualdad es verdadera por Muirhead.