Vamos a utilizar
$\mathbb N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$ (el conjunto de los números naturales) y
$\mathbb W = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ (el conjunto de los números enteros).
En primer lugar vamos a definir divide y mcd más de $\mathbb N$. A continuación, veremos algunas de las consecuencias de esas definiciones, y, finalmente, vamos a buscar una matemáticamente sonido manera de ampliar las definiciones de divide y gcd a $\mathbb W.$
DIVIDE y MCD más de $\mathbb N$
DEFINICIÓN de $1.1.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ decimos que $x$ divide a $y$, escrito $x|y$, si $\dfrac yx$ en $\mathbb N.$
LEMA de $1.2.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ $x|y$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb N$ que
$ $ y = nx.$
COROLARIO de $1.2.A.$ Para todo $x, y \in \mathbb N,$ si $x,$ y $x \le y.$
Así, por ejemplo
$3/15$ porque
$\dfrac{15}{3}$ es un número natural y porque
$15=3 \cdot 5.$
DEFINICIÓN de $1.3.$ Para cualquier $n \in \mathbb N,$ definimos los divisores de $n$
el conjunto
$D_n=\{x \in \mathbb N: x|n\}$
TEOREMA de $1.4.$ Para cada $x,y \in \mathbb N,$ existe un único $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$
Prueba. Considerar el primer descomposiciones
$x=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\alpha_i}$ y
$ $ y=\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\beta_i}$
en caso de que exista algún $N \ge 1$ que
$\alpha_i = \beta_i = 0$ para todo $i \ge N.$ no Es difícil comprobar que
$g = \prod_{i=1}^{\infty} p_i^{\gamma_i}$ donde
$\gamma_i = \min(\alpha_i, \beta_i)$ para todo $i\ge 1$.
DEFINICIÓN de $1.5.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y)$ es el único de $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$
COROLARIO de $1.5.A.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si
\begin{array}{ll}
(1.) y g|x \text{ y } g|y\\
(2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z \le g
\end{array}
COROLARIO de $1.5.B.$ Para cada $x,y \in \mathbb N, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si
\begin{array}{ll}
(1.) y g|x \text{ y } g|y\\
(2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z|g
\end{array}
Cuántos problemas no tratando de manejar $0$ causa?
DEFINICIÓN de $1.1$ Casi todavía funciona con $0$ tirado. Podemos afirmar, por ejemplo, que $4/0$ desde $\dfrac 04 = 0.$ Pero, dado que $\dfrac 00$ es indefinido, no podemos decidir si $0/0$ es Verdadera o Falsa.
LEMA de $1.2$ Es la clave del problema. Si queremos convertir este lema en una definición, entonces no hemos cambiado la forma de "divide" trabaja para el natural
los números y ahora, se puede demostrar que $0/0.$
COROLARIO de $1.2.$ Ahora es Falso, ya que $4/0$ sin embargo $4 \nleq 0.$ Pero, "divide" es un orden parcial y, con respecto a ese orden, $4/0$ indica que 0 es mayor que 4.
DEFINICIÓN de $1.3$ Estaría bien, excepto podría parecer extraño que $D_0 = \mathbb W.$
TEOREMA de $1.4$ es cierto.
DEFINICIÓN de $1.5$ Va a tener sentido.
COROLARIO de $1.5.$ Ya no sería cierto.
COROLARIO de $1.5.B$ funcionarían si hemos afirmado que $0/0$
DIVIDE y MCD más de $\mathbb W$
Entonces, ¿cómo vamos a manejar $0?$ Lo que sigue es, esencialmente, el enfoque moderno. En este enfoque, $0/0$ y $\gcd(0,0) = 0.$
DEFINICIÓN de $1.1.$ Para todo $x, y \in \mathbb W,$ $x|y$ si y sólo si existe una $n \in \mathbb W$ que
$ $ y = nx.$
Por lo que $0/0$ porque $0 = 0 \cdot 0.$
DEFINICIÓN de $1.3.$ Para cualquier $n \in \mathbb W,$ definimos los divisores de $n$
el conjunto
$D_n=\{x \in \mathbb W: x|n\}$
En particular, $D_0 = \mathbb W.$
TEOREMA de $1.4.$ Para cada $x,y \in \mathbb W,$ existe un único $g \in \mathbb W$ tales que $D_x \cap D_y = D_g.$
En particular, $D_0 \cap D_0 = D_0.$
Prueba. El uso de la antigua prueba para $x, y \gt 0.$ Los casos especiales son fáciles de manejar.
DEFINICIÓN de $1.5.$ Para cada $x,y \in \mathbb W, \gcd(x,y)$ es el único de $g \in \mathbb N$ que $D_x \cap D_y = D_g.$
De ello se sigue que $\gcd(0,0) = 0.$
COROLARIO de $1.5.B.$ Para cada $x,y \in \mathbb W, \gcd(x,y) = g$ si y sólo si
\begin{array}{ll}
(1.) y g|x \text{ y } g|y\\
(2.) & \text{Si } z|x \text{ y } z|y \text{, entonces } z|g
\end{array}
Tenga en cuenta que una manera de leer la condición (2) es la que se indica que $g$ es "el mayor" divisor o $x$ y $y$ con respecto a la orden parcial $divide a$.