¿Por qué, fundamentalmente, sumar gráficos de senos siempre produce otro gráfico de seno?

Question

Considera si deseas graficar: $$6\cos x\ +\ 3\sin x$$ Esto produce otro gráfico de seno:

El verde es el nuevo gráfico.

Entiendo la explicación del ángulo auxiliar. Podemos transformar $6\cos x\ +\ 3\sin x$ en la forma $Rcos\left(x\pm\alpha\right)$. Por lo tanto, debe ser una curva coseno.

Pero no entiendo intuitivamente por qué. No veo por qué agregar 2 curvas aleatorias de seno/coseno debe dar otra curva de seno. Puedo apreciar que la salida debe ser repetitiva/regular, pero no veo por qué debe ser una curva de seno en particular.

¡Podría ser cualquier otra cosa! ¡Cualquier otra línea ondulada! ¿Por qué resulta ser una curva de seno?

Answer 1

Aquí hay una forma geométrica de ver esto. $6 \cos x + 3 \sin x$ es el producto punto $(\cos x, \sin x) \cdot (6, 3)$ entre un vector unitario $v_x = (\cos x, \sin x)$ trazando el círculo unitario y otro vector fijo $u = (6, 3)$. El producto punto entre un vector unitario $v_x$ y un vector arbitrario $u$ calcula la proyección de $u$ sobre la dirección $v_x$. No tengo una buena forma de dibujar un diagrama de esto (probablemente Desmos podría hacerlo) pero intenta dibujar esto en un papel.

Entonces queremos entender por qué esta proyección es un seno o un coseno trasladado. Pero geométricamente esto debería ser claro: cuando $v_x$ es paralelo a $u$ la proyección es $\| u \|$. Luego, cuando comenzamos a girarlo traza un coseno; de hecho, traza

$$v_x \cdot u = \| u \| \cos \theta$$

donde $\theta = x - \arctan \frac{3}{6}$ es el ángulo entre los dos vectores. Probablemente hayas visto esta fórmula en algún momento pero quiero ser claro en que tiene una interpretación geométrica bastante sencilla. La geometría nos dice no solo que obtenemos un seno o coseno sino también cuál es el significado de la amplitud y el desplazamiento de fase; la amplitud es simplemente la longitud $\| u \|$ y el desplazamiento de fase tiene en cuenta la diferencia entre los ángulos de $v_x$ y $u$.

Edit: Aquí hay una animación simple en Desmos (sería genial poder incrustar estas), con una imagen previa:

También puedes preferir pensar en esto en términos de mantener el vector unitario fijo y rotar el vector $(6, 3)$. Entonces podría ser más claro geométricamente lo que está sucediendo aunque debes saber cómo rotar un vector arbitrario: el resultado de rotar $(6, 3)$ un ángulo de $x$ en sentido antihorario es

$$(6 \cos x + 3 \sin x, -6 \sin x + 3 \cos x).$$

Puedes ver esto usando matrices de rotación, o números complejos, o calculando productos punto, o convirtiendo a coordenadas polares: $(6, 3)$ en coordenadas polares es $(3 \sqrt{5}, \arctan \frac{1}{2})$, y rotar esto por $x$ nos da $(3 \sqrt{5}, \arctan \frac{1}{2} + x)$. Convirtiendo de vuelta a coordenadas cartesianas nos da la expresión anterior.

Luego $6 \cos x + 3 \sin x$ es simplemente la proyección en el eje $x$ de un vector rotativo, que es simplemente un coseno con un ángulo de desplazamiento como se mencionó anteriormente.

Answer 2

Solo gráficos del seno con el mismo período.

Para mí, las explicaciones geométricas son siempre las más intuitivas. El seno es simplemente la proyección de un movimiento cíclico.

En el gráfico a continuación, cuando el epiciclo A se mueve en sentido horario de A a A', B se mueve en el mismo grado en relación a la dirección vertical (cardinal). Alguna geometría te dice que OB y OB' permanecen de la misma longitud, por lo tanto, el lugar geométrico de B sigue siendo un ciclo.

Answer 3

Ayuda si lo ves a través del lente de ecuaciones diferenciales y álgebra lineal.

El punto es que las funciones sinusoidales de un período dado son las soluciones de la ecuación diferencial $y''(t) = -\omega^2 y(t)$ y por lo tanto forman un espacio vectorial. Las soluciones son funciones de la forma $y(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t)$, y también se pueden escribir como $y(t) = a\cos(\omega t+C)$ o $y(t) = a \sin(\omega t+C)$; éstas obedecen $y''=-y$, y a la inversa, si $y''(t) = -y(t)$, podemos escribirlo en esta forma: $y(t)$ debe alcanzar un máximo en algún punto $y(C) = A$ (ya que es periódica) y luego dejando $f(t) = y(t+C)$, $f(t)$ obedece $f''(t) = -f(t)$, $f(0) = A$, $f'(0) = 0$ implica $f(t) = A \cos(\omega t)$ y así $y(t) = A\cos(\omega(t-C)$.

tl;dr El espacio de soluciones de $y'' = -\omega^2y$ es $$\{a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t) | a,b \in \mathbb{R}\} = \{A \cos(\omega t+C) | A, C \in \mathbb{R}\}$$

y esto forma un espacio vectorial, ya que son las soluciones de una ecuación diferencial lineal e homogénea, entonces al sumar dos funciones de esta forma obtienes otra.

Answer 4

Explicación intuitiva: Si balanceas un hacha alrededor de tu hombro, la punta de la hoja también se mueve en un círculo alrededor de tu hombro.

Si $A$ es la longitud total de tu brazo y el mango del hacha, y $x$ es el ángulo que forma tu brazo con el suelo, entonces la altura del extremo del mango del hacha sobre el suelo es: $A\sin x$.

Si la hoja del hacha forma un ángulo recto con el mango, y tiene una longitud de $B$, entonces la altura de la punta de la hoja sobre el extremo del mango del hacha será $B\cos x$.

Por lo tanto $A\sin x +B \cos x$ es simplemente la altura de la punta de la hoja. Claramente esto también es $\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\theta)$.

Answer 5

Pista.

Suponiendo que conoces la identidad de Moivre: tomando

$$ \cases{ y_r = a_1\sin x + a_2\cos x\\ y_i = b_1\sin x + b_2\cos x } $$

tenemos

$$ y = y_r + i y_i = c_1 e^{i x}+c_2 e^{i x + i \phi_0} = (c_1 + c_2 e^{i\phi_0})e^{i x} $$

o también:

Dados dos números

$$ \cases{ z_1 = \|z_1\| e^{i (x+\phi_1)}\\ z_2 = \|z_2\| e^{i (x+\phi_2)}\\ }\Rightarrow z_1+z_2 = z_3 = \|z_3\|e^{i(x+\phi_3)} $$

Otra forma más directa:

$$ \cases{ a_1 \cos (x)+a_2\sin (x)=\sqrt{a_1^2+a_2^2} \left(\frac{a_1 \cos(x)}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}+\frac{a_2 \sin (x)}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}}\right) \\ = \sqrt{a_1^2+a_2^2} \left(\sin\phi\cos(x)+\cos\phi \sin (x)\right)\\ =\sqrt{a_1^2+a_2^2} \sin (\phi +x) } $$

por lo tanto

$$ 6 \cos (x)+3 \sin (x)=3 \sqrt{5} \sin \left(x+\tan ^{-1}(2)\right) $$