Diferenciación MVT

Question

¿Puede alguien ayudarme con esto?

1. Supongamos que $f$ es diferenciable en $[4,6]$ y tal que $f(4) = 6$ y $f' \geq 2$ en $[4,6]$. Encuentra el valor más bajo posible de $f(6)$.

Creo que la respuesta para el valor más bajo posible de $f(6)$ es $10$. ¿Es correcto?

1. Dame una función $f$ que sea diferenciable en $\Bbb R$ y que tenga las siguientes 3 propiedades, o explica por qué tal función no puede existir: $f(1) = 3$, $f(3) = 8$, y $f'(x)\leq 2$ para todo $x$.

Answer 1

Para el primero, has hecho un buen trabajo al descubrir cuál puede ser el valor mínimo de $f(6)$. Por el Teorema del Valor Medio, existe un punto $4

Para el segundo, usa el mismo razonamiento para descubrir lo siguiente:

Sea $f$ diferenciable en $[1,3]$, tal que $f(1)=3$ y $f'\le 2$ en $[1,3]$. ¿Cuál es el valor más alto posible de $f(3)$?

Answer 2

Según el teorema del valor medio: $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ donde c es cualquier punto en el intervalo cerrado [a b]

Por lo tanto:

$f' = \frac{f(6)-f(4)}{6-4} =2 $

$\Rightarrow \frac{f(6)-6}{6-4} = 2$

$\Rightarrow = f(6)=6+4 =10$