¿Cómo interpretar la ecuación de una línea en 3D a través de dos puntos, cuando hay $0$s en el denominador?

Question

Si $A=(0,0,0)$ y $B=(1,0,0)$ son dos puntos de una línea en tres dimensiones, creo que su ecuación debería ser $$\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0}\tag1$$ según la fórmula $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}\tag2$$

Pero (1) tiene ceros en el denominador. ¿Cómo interpretar entonces la relación entre $x$, $y$ y $z$?

Answer 1

Voy a responder en general.."cómo encontrar la ecuación de una línea en $3D$ dadas sus dos puntos finales?". Sea $(x_0,y_0,z_0)$ y $(x_1,y_1,z_1)$ dos puntos. La línea que buscas es: $${\bf X}(t) = (x_0,y_0,z_0)+t(x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0), \quad t \in \Bbb R.$$ Si solo quieres el segmento, considera solo $0 \leq t \leq 1$. Observa que ${\bf X}(0) = (x_0,y_0,z_0)$ y ${\bf X}(1) = (x_1,y_1,z_1)$.

Answer 2

Su ecuación no funciona del todo bien, ya que tiene una división por $0$. Esto es algo problemático. Sin embargo, piénsalo lógicamente: $(0,0,0)$ es el origen y $(1,0,0)$ es algún punto en el eje $x$. Hey, esos son dos puntos en el eje $x$, que es una línea, y por lo tanto es la única línea entre ellos. El eje $x$ está claramente definido por $$y=z=0$$ y no se impone ninguna restricción sobre $x$.

Podemos (de forma informal) leer tu ecuación de dos maneras: primero, podríamos "multiplicar" por $0$ y cancelar con los denominadores, lo que resulta en $0=y=z$. También podríamos pensar que los numeradores de $\frac{y-0}0$ y $\frac{z-0}0$ mejor deben ser $0$, ya que al menos eso nos da la forma indeterminada $\frac{0}0$ en lugar de la claramente incorrecta $\frac{1}0$ o algo así. Estas no son formas muy formales de pensar en ello (pero se pueden formalizar con límites), pero darán la respuesta correcta cuando se usen cuidadosamente.