Encontrar una ecuación diferencial estocástica como límite de un proceso estocástico discreto

Question

Me encontré con un problema que parece sencillo pero no puedo abordarlo. Sea $X_n$ un proceso discreto definido por el siguiente algoritmo.

Elija $X_0\in[0,1]$, establezca $\kappa>0$ suficientemente pequeño y
$X_{n+1}=X_n+\kappa(I_n-X_n)$
con $I_n=1$ con probabilidad $X_n$ y $I_n=0$ con probabilidad $1-X_n$.

En otras palabras, el $X_n$ disminuye con probabilidad $1-X_n$ por $\kappa X_n$ y aumenta con probabilidad $X_n$ por $\kappa(I_n-X_n)$, por lo que $E[X_{n+1}]=X_n$.

El punto es que $\kappa$ puede ser arbitrariamente pequeño, por lo que podemos llevar su límite a $0$ mientras disminuimos linealmente el intervalo de tiempo. Naturalmente, esto debería dar lugar a una Ecuación de Diferencial Estocástica (SDE, por sus siglas en inglés) (en este caso esperaría que fuera no lineal). Entonces mi pregunta es cómo se puede encontrar esta SDE o la EDP que da la densidad de probabilidad.

Debo agregar que para tiempos cortos parece un paseo aleatorio (lo cual es de esperar, supongo) con la varianza siendo proporcional a $\kappa^2 t^2 X_0(1-X_0)$, con $t$ pequeño. Sin embargo, dado que $X_n\in[0,1]$, $1$ es un límite superior para la varianza.

Answer 1

Aquí hay un esbozo de cómo podrías abordar esto. Debes probar los dos resultados "duros" que son: (1) Para cada $t$, $$\lim_{\kappa\to0} E\big[\max\{|\xi_j|: 1 \le j \le \lfloor\kappa^{-2}t\rfloor\}\big] = 0,$$ y (2) para cada $t$, $$\sum_{j=1}^{\lfloor\kappa^{-2}t\rfloor} \xi_j^2 \to t,$$ en probabilidad conforme $\kappa\to0$. El resto de la prueba sería entonces el siguiente argumento "blando" basado en la teoría general.

Primero, define $W^\kappa(t)=\sum_{j=1}^{\lfloor\kappa^{-2}t\rfloor} \xi_j$. Utilizando los dos resultados anteriores, puedes usar el teorema del límite central de la martingala (Teorema 7.1.4 en Ethier & Kurtz) para demostrar que $W^\kappa\Rightarrow W$, donde $W$ es una marcha Browniana estándar.

Luego, tomamos la ecuación de diferencia que define la secuencia $\{X_n\}$ y la reescribimos como una ecuación integral. Más específicamente, si definimos $X^\kappa(t)=X_{\lfloor\kappa^{-2}t\rfloor}$, entonces podemos escribir $$X^\kappa(t) = X_0 + \int_0^t \sqrt{X^\kappa(s-)(1 - X^\kappa(s-))}\\,dW^\kappa(s).$$ Aquí no hay nada profundo, solo un cambio de notación, realmente.

Finalmente, utilizamos el Teorema 5.4 en Kurtz & Protter para demostrar que $(X_0,X^\kappa,W^\kappa) \Rightarrow(X_0,X,W)$, donde $X$ es la solución fuerte única a $dX=\sqrt{X(1-X)}\\,dW$, $X(0)=X_0$.

Una versión simplificada del Teorema 5.4 en Kurtz & Protter está disponible como Teorema 2.3 en estas notas de clase. Esta versión es suficiente para tus propósitos, y puede ser más fácil de entender. Además, para usar este teorema, debes mostrar que, para cada versión de $(X_0,W)$, la EDO límite tiene una solución fuerte única para todo tiempo. Esto se sigue, por ejemplo, de la Proposición 5.2.13, el Teorema 5.5.4 y el Corolario 5.3.23 en Karatzas & Shreve.