¿Por qué es soluble un grupo finito con un subgrupo maximal que es abeliano?

Question

Me he encontrado con un ejercicio que dice lo siguiente:

Si $G$ es un grupo finito que contiene un subgrupo maximal $M$ que es abeliano, muestra que $G$ es resoluble y que $G^{(3)}$ (el tercer término en la serie derivada) es igual a 1.

Puedo ver que es suficiente mostrar que $G^{(2)}$ es un subgrupo de $M`, pero no estoy seguro de cómo demostrar esto. (¡O incluso si es cierto!) ¿Podrías ayudarme?

Gracias de antemano por tu ayuda :)

P.D. No sé si ayuda, pero este es el ejercicio 3.4.7 en 'Permutation Groups' de Dixon y Mortimer.

Answer 1

En el libro de Dixon y Mortimer, puedes usar el ejercicio anterior 3.4.6. en el que se establece lo siguiente:

Sea $G$ un grupo de permutaciones primitivas finito con estabilizadores de puntos abelianos. Demuestra que $G$ tiene un $p$-subgrupo elementary abeliano normal regular para algún primo $p$.

Ahora, para la afirmación, es suficiente demostrar lo siguiente:

Sea $G$ un grupo finito con un subgrupo maximal $M$ que es abeliano. Entonces $G'' \leq M$.

Prueba: Por inducción. Si $M$ contiene un subgrupo normal $N \neq 1$ de $G$, entonces $M/N$ es un subgrupo maximal de $G/N$ que es abeliano, por lo que $G''N/N \leq M/N$ por inducción y así $G'' \leq M$. Supongamos entonces que $M$ no contiene ningún subgrupo normal no trivial de $G$. Entonces, mediante la acción de conjugación en $M$, podemos considerar $G$ como un grupo de permutaciones primitivas finito con estabilizadores de puntos abelianos. Según el ejercicio 3.4.6. anterior, $G$ tiene un $p$-subgrupo abeliano normal $N$. Ahora, $N$ no está contenido en $M$, por lo que $G = MN$. Entonces $G/N$ es abeliano, por lo que $G' \leq N$ y $G'' = 1$.

Answer 2

Este es un teorema de Herstein, y la prueba se puede encontrar aquí, ver Teorema $5.53$. Uno considera el normalizador $N_G(M)$. El caso fácil es que $N_G(M)>M$. Entonces, por la maximalidad de $M$, tenemos $N_G(M)=G$. Por lo tanto, $M\triangleleft G$ y $G/M$ es de orden primo. Se sigue que $M$ y $G/M$ son ambos resolubles, por lo tanto, $G$ también es resoluble.