Entendiendo la definición de espacios cuasimétricos

Question

Sean $(M_1,d_1)$ y $(M_2,d_2)$ dos espacios métricos. Decimos que estos dos espacios son cuasi-isométricos si existe un mapa $f$ entre ellos que satisface lo siguiente:

$$ \forall x,y\in M_{1} :{\frac{1}{A}}d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A d_{1}(x,y)+ B,$$

y $$ \exists C \geq 0, \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.$$

Quiero entender esta definición intuitivamente: según Wikipedia, una cuasi-isometría es una función entre dos espacios métricos que respeta la geometría a gran escala de estos espacios e ignora los detalles a pequeña escala, ¿podría alguien ampliar más sobre esto o proporcionar una explicación más intuitiva de esta definición por favor?

Answer 1

Como comentó Didier, si dibujas $\Bbb Z$ en una pizarra, tendrás algunos puntos colocados horizontalmente. A medida que te alejas de la pizarra, los puntos parecerán más cercanos, y finalmente, cuando estés a una distancia suficientemente grande de la pizarra, verás efectivamente una línea continua, es decir, $\Bbb R$. El espacio $\Bbb Z$ por sí mismo no es muy interesante, es un espacio discreto. Cuando lo miramos desde lejos, tiene algunas propiedades interesantes. Ten en cuenta que $\Bbb N$ no es cuasi-isométrico a $\Bbb Z$ (¿Por qué?). El principio esencial de la geometría a gran escala es que miras un objeto, luego te alejas y lo miras de nuevo. ¿Qué propiedades interesantes tiene este objeto ahora? Todos los espacios métricos que se ven similares cuando estás "lejos" de ellos se pueden considerar cuasi-isométricos. Los espacios métricos cuasi-isométricos tienen las mismas "propiedades geométricas". Más adelante, estudiarás nociones como la hiperbolicidad, que se conservan bajo cuasi-isometrías. Estas "propiedades geométricas" se denominan invariantes cuasi-isométricos. Las cuasi-isometrías son mapas bilipschitz debilitados. Se pueden considerar como mapas discontinuos sobre cuyas discontinuidades tienes cierto grado de "control".