Cómo resolver una pregunta difícil sobre anualidades, cambiando pagos

Question

Tengo mucha confusión tratando de resolver este problema porque parece que hay muchas cosas sucediendo al mismo tiempo. Estoy buscando a alguien que pueda ayudar, por favor.

Un hombre quiere comprar una anualidad de $15$ años, que proporciona $30$ pagos semestrales. El primer pago se realiza $6$ meses después de la compra de la anualidad. Durante un año, los pagos son del mismo monto. Después del primer año, sin embargo, al inicio de cada año los pagos se reducen en un $4$ por ciento.

Si $i^{(2)}=0.10$, ¿cuánto cuesta esta anualidad?

Mi trabajo:

Estoy bastante confundido con la redacción, pero intenté hacer un diagrama de tiempo. En el primer marca de 6 meses, realiza un pago de P. 6 meses después, un pago de 0.96P, seis meses después, 0.96P, seis meses después 0.92P, seis meses después 0.92P,..

6 meses antes del inicio del decimoquinto año, un pago de 0.44P, seis meses después un pago final de 0.40P.

Pero ahora no sé cómo puedo usar la tasa semestral y las fórmulas de anualidad porque tengo pagos diferentes.

Intenté hacerlo descontando para llevar todo en términos de valor en el tiempo 0, pero sumar todo lo demás sin algún tipo de truco sería extremadamente difícil, también estoy bastante confundido sobre si ese es incluso el método correcto.

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Sea $d=0.96, q=1.05$. y $a$ el pago inicial del anualidad. Entonces el valor futuro es

$\quad S_{30}=a\cdot \left[ q^{29}+q^{28}+dq^{27}+dq^{26}+\ldots+d^{14}q+d^{14} \right] \qquad (1)$

$ \frac{d}{q^2}S_{30} =a\cdot \left[\qquad \qquad \quad dq^{27}+dq^{26}+\ldots . +d^{14}q+d^{14}+\frac{d^{15}}{q}+\frac{d^{15}}{q^2} \right] \qquad (2)$

Restando (2) de (1)

$S_{30}\cdot \left(1-\frac{d}{q^2}\right)=a\cdot \left(q^{29}+q^{28}-\frac{d^{15}}{q}-\frac{d^{15}}{q^2} \right)$

$S_{30}=a\cdot \frac{q^{29}+q^{28}-\frac{d^{15}}{q}-\frac{d^{15}}{q^2}}{1-\frac{d}{q^2}}$

Expandiendo la fracción por $q^2$

$S_{30}=a\cdot \frac{q^{31}+q^{30}-d^{15}q-d^{15}}{q^2-d}$

$S_{30}=a\cdot \frac{(1+q)\cdot (q^{30}-d^{15})}{q^2-d}$

Y el valor presente es

$S_{0}=\frac{a}{q^{30}}\cdot \frac{(1+q)\cdot (q^{30}-d^{15})}{q^2-d}$

Observación

Después del primer año, sin embargo, al comienzo de cada año, los pagos disminuyen en un 4 por ciento.

Mi interpretación es que los pagos en el año $t$ son $a\cdot 0.96^t$. La disminución del $4\%$ se refiere al nivel de pagos del año anterior.

Answer 2

Esto puede ayudar:

v+(1-.04)v^2+(1-.04)^2v^3+...+(1-.04)^14v^15

v[1+(.96/1.1025)^1+(.96/1.1025)^2+...+(.96/1.1025)^14]

Nota: Tienes que usar la tasa anual efectiva de (1+.1/2)2=1.1025 en el factor v

\=v[(1-(.96/1.1025)^15)/(1-(.96/1.1025))]=3.505

*Este método utiliza la fórmula de serie geométrica *

Answer 3

Deja que la cantidad del principio restante en la anualidad después de que se hayan realizado $k$ pagos sea $S_k$, y el pago inicial sea $P$.

Supongamos que los intereses semestrales acumulados son $q = 0.05$ (la capitalización semestral de una tasa anual del diez por ciento) y los pagos disminuyen en cada pago $2i$ por un factor de $\delta = 0.96$.

Entonces podemos ver que el pago $k$ es siempre $P\delta^{\lfloor k/2 \rfloor}$ donde $\lfloor k/2 \rfloor$ significa el entero más grande que no excede $k/2$. Por ejemplo, el pago $1$ es $P$, y los pagos $2$ y $3$ son ambos $P\delta^1.

Podemos plantear el problema de la siguiente manera:

Para el número de pagos $2i+1$, $$ S_{2i+1} = (1+\alpha) S_{2i} - P \delta^i $$ Para el número de pagos $2i$, $$ S_{2i} = (1+\alpha) S_{2i-1}- P \delta^i $$ Y $S_{30}=$. Encuentra $S_0$.

Resolvemos esto de la siguiente manera: Primero, para deshacernos de la desagradable estructura par/impar, nos gustaría conocer $S_{2i+2}$ en función de $S_{2i}$:

$$S_{2i+2} = (1+\alpha) S_{2i+1}- P \delta^{i+1} = (1+\alpha) \left( (1+\alpha) S_{2i} - P \delta^i\right) - P \delta^{i+1}\\ S_{2i+2} = (1+\alpha)^2 S_{2i} - (1+\alpha+\delta) P \delta^i $$

Esta es una serie bastante fácil de sumar en forma cerrada, si conoces un truco de inicio lindo, y sabes cómo sumar una serie geométrica. El truco lindo es dejar $ S_{2i} = (1+\alpha)^{2i} a_{i}$; entonces $S_0 = a_0$ y la ecuación se convierte en $$ (1+\alpha)^{2(i+1)} a_{i+1} = (1+\alpha)^{2(i+1)} a_i - (1+\alpha+\delta) P \delta^i \mbox{ o}\\ a_{i+1} = a_i - \frac{(1+\alpha+\delta) P}{(1+\alpha)^{2(i+1)}} $$ Dado que $a_i$ solo disminuye, cada vez, por $\frac{(1+\alpha+\delta) P}{(1+\alpha)^{2(i+1)}}$, claramente para todo $i>0$ $$ a_i = a_0 - \sum_{k=0}^{i-1} \frac{(1+\alpha+\delta) P}{(1+\alpha)^{2k}}= a_0 - (1+\alpha+\delta) P\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{(1+\alpha)^{2k}} $$ y sabemos cómo sumar esa serie geométrica, dando $$ a_i = a_0 - \frac{1-(1+\alpha)^i}{1-(1+\alpha)} = a_0 - (1+\alpha+\delta)\frac{(1+\alpha)^i-1}{\alpha} \\ S_{2i} = (1+\alpha)^{2i} \left( S_0 - (1+\alpha+\delta)\frac{(1+\alpha)^i-1}{\alpha} \right) $$ Si sustituimos $i=15, \alpha = 0.05, \delta = 0.95$ en $S_{30}=0$, obtenemos $$ S_{30} =0 = (1.05)^{30} \left( S_0 - 2.01P\frac{(1.05)^{15}-1}{0.5} \right) \\ S_0 = 2.01\frac{(1.05)^{15}-1}{0.5} \approx 21.579 P $$