Ecuación para el plano tangente y la recta normal de $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z$

Question

Tengo una pregunta: Encuentra la ecuación para el plano tangente y la línea normal de la superficie

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z$

en el punto $(1,1,1)$

Para el plano tangente obtuve,
$z=2x+2y+z-2$
¿Esto es correcto, si es así, cómo encuentro la línea normal a partir de aquí?

Answer 1

El vector normal se puede encontrar usando el gradiente de la función calculada en el punto. Por lo tanto, $$\nabla f (1,1,1) = (2x,2y,1) \bigg\vert_{(x,y,z)=(1,1,1)} = (2,2,1)$$ es el vector normal del plano tangente en $(1,1,1)$. Escribiéndolo como $2x+2y+z=d$ sustituimos $(1,1,1)$ en la ecuación para encontrar $d$, obteniendo $$2x+2y+z=5.$$ En cuanto a la línea normal, escríbela como cualquier línea: $$r: P_0 + t D,$$ donde $P_0$ es el punto de partida y $D$ es el vector director, el primer vector que encontramos..