¿Cómo razonar acerca de la suavidad de una función?

Question

$Editar$: Uso el término "suave" aquí para referirme a "infinitamente diferenciable".

Me gustaría pedir algunos consejos sobre cómo determinar si una función es suave o no, especialmente cuando la función es un producto, un cociente o una composición de otras funciones. Las dos funciones de ejemplo con las que me encontré y que me hicieron hacer esta pregunta son:

$f(x) = \begin{cases}\sin (x)\exp (-\frac{1}{x^2}) & x\neq 0 \cr 0 & x = 0\end{cases}$

y

$g(x) = \begin{cases}\ln (x)\sin (2\pi x) & 0 < x \leq 1 \cr 0 & x = 0\end{cases}$

Para la segunda es bastante fácil ver que no es diferenciable en $0$ simplemente aplicando la definición de derivada, sin embargo, si no estuviera definida de esa manera en el punto cero, estaría perdido, al igual que con la primera. Así que sí, cualquier consejo sobre cómo determinar si este tipo de funciones son suaves o no sería muy apreciado.

Answer 1

Puedes hacer el primero con este teorema que es una simple consecuencia del teorema del valor medio.

Sea $f$ definida en $(a,b)$ y diferenciable excepto quizás en el punto $c\in(a,b).$ Supongamos además que $\lim_{x\to c}f'(x)$ existe. Entonces $f$ es diferenciable en $c$ y $f'(c)= \lim_{x\to c}f'(x)$.

Por supuesto, la función $f$ dada es suave para $x\neq0$ y cuando la diferenciamos repetidamente, obviamente obtendremos expresiones de la forma $$f^{(n)}(x)=\exp(-1/x^2)\left(\sin(x)P_n(1/x)+\cos(x)Q_n(1/x)\right)$$ para algunas funciones racionales $P_n$ y $Q_n$.

Ya que $x\to0$, $\exp(-1/x^2)->0$ mucho más rápido que $P_n(1/x)$ y $Q_n(1/x)$ van a $\pm\infty$ entonces $$f(n)(0)=0,\ n=0,1,2,\dots$$