Epimorphisms de espacios localmente compactos

Question

Deje $LCH$ ser la categoría de localmente compacto Hausdorff espacios con adecuada continuo de los mapas.

Pregunta. ¿Cuáles son los epimorphisms en $LCH$?

Sospecho que ellos sean surjective, pero no he sido capaz de demostrarlo.

He aquí una idea: Vamos a $f : X \to Y$ ser un epimorphism. La imagen de $f(X)$ es cerrado. De ello se desprende que $f(X)^+$ es cerrado en $Y^+$ donde $+$ denota la Alexandrov compactification. Si $y \in Y \setminus f(X)$, por Urysohn del Lexema hay algunos $g \in C(Y^+)$$g(y)=1$$g(f(X)^+)=0$. Ahora, $g(\infty)=0$ implica que el $g$ restringe a algunos $g \in C_0(Y)$ tal que $g(y)=1$$g(f(X))=0$. El problema es que $g$ podría no ser adecuada.

También he tratado de demostrarlo en el doble de la categoría, que es la categoría de $CommC^*Alg$ de los conmutativa $C^*$-álgebras con no degenerada $*$-homomorphisms. Ya sé que surjections convertido en inyecciones debajo de esta dualidad, por lo que la pregunta sería: Es cada monomorphism en $CommC^*Alg$ inyectiva? De nuevo, la restrictiva morfismos causar algunos problemas en probar este.

Answer 1

Sí, una de morfismos en esta categoría es épico iff es surjective. Obviamente surjective morfismos son épicas, por lo que es suficiente para mostrar que si $f: X\to Y$ no es surjective, no es localmente compacto Hausdorff espacio de $Z$ y distinta $g_1, g_2 \in \hom(Y,Z)$ tal que $g_1 \circ f = g_2 \circ f$.

Voy a utilizar la noción de un perfecto mapa como se define en Engelking de la Topología General, que es un continuo cerrado mapa de un espacio de Hausdorff a un espacio topológico con fibras compactas. Con esta definición, perfecto mapas son adecuados (thm. 3.7.2) y composiciones de perfecto mapas son perfectos. (cor 3.7.3) De hecho, un mapa a partir de un espacio de Hausdorff compacto genera espacio de Hausdorff es perfecto iff es continua y adecuada. (thm. 3.7.18)

En el producto $Y \times 2$ definir la equivalencia de la relación de $E$ tal que $(x, i) \,E\, (y, j)$ fib $x = y$ e ($i = j$ o $x \in f(X)$). (En en otras palabras: la cola de las dos copias de $f(X)$ en conjunto). Deje $Z = (Y \times 2)/E$ $q: Y \times 2 \to Z$ natural mapa. Dado que las fibras de $q$ son finitos son compactos y, usando el hecho de que $f(X)$ es cerrado, es fácil comprobar que si $F$ es cerrado en $Y \times 2$, por lo que es $q^{-1}(q(F))$. Por lo tanto $q$ es perfecto y desde imágenes perfectas de localmente compacto Hausdorff y espacios localmente compactos de Hausdorff (thm. 3.7.20, 3.7.21), $q$ es una de morfismos.

Si ahora llevamos $g_1$ $g_2$ a las composiciones de $q$ con el dos naturales de incrustaciones $Y \to Y \times 2$, nos encontramos con que difieren en $Y\setminus f(X)$, pero está de acuerdo en $f(X)$, por lo tanto,$ g_1 \circ f = g_2 \circ f$.