Ejemplo de funciones continuas de valores reales

Question

Proporcione un ejemplo de funciones continuas de valores reales, es decir, un mapeo $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, que sea abierto pero no cerrado. Asegúrese de justificar por qué sus subconjuntos de ejemplo cumplen los criterios deseados

Dado que: Un mapeo $f : X \to Y$ se llama abierto si para cada conjunto abierto $U$ en $X$, el conjunto $f(U)$ es abierto en $Y y cerrado si mapea conjuntos cerrados en $X$ a conjuntos cerrados en $Y

No estoy seguro si tiene que haber una función, o un conjunto de funciones que sean abiertas y no cerradas

Necesito un comienzo en esto. Por favor, ayuda

Answer 1

Pista: No es difícil demostrar que si $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es abierta, entonces tiene que ser estrictamente monótona.

Answer 2

Las funciones continuas mapean conjuntos cerrados a conjuntos cerrados. Por lo tanto, no existe una función continua abierta pero no cerrada.