¿es posible que alguien a ejecutar una búsqueda de la computadora para que yo suba enteros $a,b,c,d$ tal que $$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d}}}}$de la % $? Nota: sé que existen, simplemente, no puedo encontrarlos.
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Deje $s = 1 + \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$, por lo que desea $s^2 = a + \sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d}}}$.
Ahora $s^2$ tiene un mínimo de polinomio $p(z) = z^4-48 z^3+200 z^2-192 z+16$ sobre los racionales, de grado $4$. Por otro lado, $a + \sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d}}}$ satisface
$q(z) = (((z-a)^2 -b)^2 - c)^2 - d = 0$, un polyunomial de grado $8$. Así que necesitamos a $q(z)$ a ser divisible por $p(z)$. El resto de $q(z)$ sobre la división por $p(z)$ es
$$ r(z) = \left( -56\,{a}^{5}+3360\,{un}^{4}+80\,{a}^{3}b-117824\,{a}^{3}-2880\,
{a}^{2}b-24\, {b,}^{2}+2564352\,{ a}^{2}+50496\,ab+8\,ca+288\,{b}^{2}-
31875456\,-366336\,b-96\,c+173339136 \right) {z}^{3}+ \left( 28\,{a}^
{6}-60\,{a}^{4}b-14000\,{a}^{4}+36\,{a}^{2}{b}^{2}+526848\,{a}^{3}+
12000\,{a}^{2}b-12\,{a}^{2}c-4\,{b}^{3}-11524800\,{a}^{2}-225792\,ab-
1200\,{b}^{2}+4\,bc+143308800\,+1646400\,b+400\,c-779335936 \right) {
z}^{2}+ \left( -8\,{a}^{7}+24\,{a}^{5}b-24\,{a}^{3}{b}^{2}+13440\,{a}^
{4}+8\,{a}^{3}c+8\, {b}^{3}-515200\,{a}^{3}-11520\,{a}^{2}b-8\,abc+
11289600\,{a}^{2}+220800\,ab+1152\,{b}^{2}-140403712\,-1612800\,b-384
\,c+763545600 \right) z+{a}^{8}-4\,{a}^{6}b+6\,{a}^{4}{b}^{2}-2\,{a}^{
4}c-4\,{a}^{2}{b}^{3}-1120\,{a}^{4}+4\,{a}^{2}bc+{b}^{4}+43008\,{a}^{3
}+960\,{a}^{2}b-2\,{b}^{2}c-942592\,{a}^{2}-18432\,ab-96\,{b}^{2}+{c}^
{2}+11722752\,+134656\,b+32\,c-d-63750912
$$
así que nos fijamos para el entero de soluciones del sistema de ecuaciones de ajuste de la
los coeficientes de $r(z)$$0$. El uso de Arce tomé un "$\text{plex}(d,c,b,a)$" base de Groebner de este sistema. La primera base del elemento de factores como
$$ \left( a-24 \right) \left( 3\,68 \right) \left( a-21 \right)
\left( {a}^{2}-24\,+36 \right) \left( {a}^{2}-24\,+48 \right)
\left( {a}^{2}-24\,un+16 \right)
$$
así que si $a$ es un número entero sólo puede ser $21$ o $24$.
Con $a=21$ tenemos $b = 413$, $c=4656$, $d=16588800$, y de hecho (de nuevo, según Arce)
$s = \sqrt{21 + \sqrt{413+\sqrt{4656+\sqrt{16588800}}}}$.
FundThmCalculus
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Declaración del problema: $$1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}=\sqrt{a+\sqrt{b+\sqrt{c+\sqrt{d}}}}$ $ probemos esta identidad que publicaste: $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y+\sqrt{4xy}}$ $ utilizar sus variables: $$\sqrt{3}+\sqrt{6}$ $ $$=\sqrt{3+6+\sqrt{4\cdot 3\cdot 6}}$ $ $$=\sqrt{9+\sqrt{72}}$ $ $$\sqrt{1}+\sqrt{2}$ $ $$=\sqrt{1+2+\sqrt{4\cdot 1 \cdot 2}}$ $ $$=\sqrt{3+\sqrt{8}}$ $ $$\sqrt{9+\sqrt{72}}+\sqrt{3+\sqrt{8}}$ $ $$=\sqrt{\left(9+\sqrt{72}\right)+\left(3+\sqrt{8}\right)+\sqrt{4\cdot \left(9+\sqrt{72}\right)\cdot\left(3+\sqrt{8}\right)}}$ $ $$=\sqrt{12+\sqrt{72}+\sqrt{8}+\sqrt{\left(36+\sqrt{1152}\right)\cdot\left(3+\sqrt{8}\right)}}$ $ $$=\sqrt{12+\sqrt{72}+\sqrt{8}+\sqrt{108+3\sqrt{1152}+36\sqrt{8}+\sqrt{9216}}}$ $ $$=\sqrt{12+8\sqrt{2}+\sqrt{108+144\sqrt{2}+\sqrt{9216}}}$ $ $$=\sqrt{12+8\sqrt{2}+\sqrt{108+144\sqrt{2}+96}}$ $ $$=\sqrt{12+8\sqrt{2}+\sqrt{204+144\sqrt{2}}}$ $ $$=\sqrt{12+\sqrt{128}+\sqrt{204+\sqrt{41472}}}$ $ casi allí!
