Mostrando la compacidad si $P_nf \to Pf$ para todos los $f$ continuos con soporte compacto

Question

Estoy estudiando la convergencia de medida de probabilidad de Billingsley, y me encontré con este ejercicio

Supongamos que $S$ es separable y localmente compacto (tiene métrica). Supongamos que $P_nf \to Pf$ para todo $f$ continuo con soporte compacto. Demuestra que $\{P_n\}$ es acotado y que $P_n$ converge débilmente a $P$.

Suponiendo que $\{P_n\}$ es acotado, entonces en un espacio métrico localmente compacto, $K$ (conjunto compacto) es una clase separadora, por lo que podemos probar que $P_n$ converge débilmente a $P$.

Pero estoy luchando con el problema anterior, que $\{P_n\}$ es acotado.

En primer lugar, intenté la función $f_\epsilon(x) = (1-\frac{\rho(x, K)}{\epsilon})_+$. Entonces obtuvimos ($K_\epsilon$ denota el conjunto $\rho(x, K)<\epsilon$) $$P_n K \leq P_nf \to Pf \leq PK_\epsilon$$ luego, cuando $\epsilon \to 0$, $ PK_\epsilon \to K$, pero debemos lidiar con $n$, por lo que se encuentra con el problema del cambio de límite.

¿Puedes ayudarme? Cualquier otra solución está bien.

Answer 1

En ese ejercicio Billinglsley menciona varios resultados que son todos necesarios aquí. Primero note que podemos métrizar el espacio mediante una métrica completa y separable. Esto implica que toda medida de probabilidad en $X$ es ajustada. Sea $\epsilon >0$. Existe un conjunto compacto $K$ tal que $P(K) >1-\epsilon$. Como se menciona en el libro, podemos encontrar otro conjunto compacto $H$ tal que $K \subset H^{0}$. Por el Teorema de Portmanteau, $\lim \inf P_n(H^{0}) \geq P_n(H^{0})\geq P(K) >1-\epsilon$. Por lo tanto, existe un $m$ tal que $P_n(H) \geq P_n(H^{0}) >1-\epsilon$ para todo $n >N$. Ahora cada una de las medidas $P_1,P_2,...,P_N$ es ajustada, por lo que existen conjuntos compactos $H_i$ tal que $P_i(H_i) >1-\epsilon$ para cada $i \leq N$. Finalmente, considera el conjunto compacto $H \cup H_1\cup...\cup H_N$ para terminar la demostración.

Answer 2

Necesitamos mostrar que $\forall_{\varepsilon > 0}$ $\exists_{K - compacto} \forall_{n \in \mathbb N} : P_n(K) \ge 1- \varepsilon $

Así que toma cualquier $\varepsilon > 0$.

Tu razonamiento fue correcto. Para un conjunto compacto $K \subset S$ y $\delta > 0$ define $F_{K,\delta}:S \to \mathbb R$ por $F_{K,\delta}(x) = \max (0, 1-\frac{1}{\delta}\rho(x,K)) \in [0,1]$. (Podemos encontrar tal función debido a que $S$ es metrizable). Obviamente $F_{K,\delta}$ es continua y con soporte compacto, ya que se anula fuera de $K^\delta := \{x \in S : \rho(x,K) \le \delta \}$.

Por suposición tenemos $P_n(K^\delta) \ge P_n F_{K,\delta} \to P F_{K,\delta} \ge P(K) $

Ahora, debido a que $S$ es un espacio métrico localmente compacto y separable, es segundo numerable (separabilidad + métrica) por lo que es polaco (un espacio de Hausdorff métrico localmente compacto es polaco si es segundo numerable), así que $P$ es una medida ajustada, por lo que podemos encontrar un conjunto compacto $K(\varepsilon)$ tal que $P(K(\varepsilon)) \ge 1-\frac{\varepsilon}{2}$. Además, como $P_n F_{K(\varepsilon),\delta} \to PF_{K(\varepsilon),\delta} \ge P(K(\varepsilon)) \ge 1-\frac{\varepsilon}{2}$, podemos encontrar $N(\varepsilon)$ tal que para $n>N(\varepsilon)$ obtenemos $P_n(K(\varepsilon)^\delta) \ge 1- \varepsilon$ ($\delta$ de hecho puede ser arbitrario).

Ahora, nos quedan finitamente muchas medidas, y nuevamente, por el teorema de Prokhorov, la familia $\{P_1,...,P_{N(\varepsilon)}\}$ es ajustada, así que encontraremos otro conjunto $K_2$ tal que la definición de ajuste se cumple para $\varepsilon$. Ahora usa el conjunto $K = K(\varepsilon)^\delta \cup K_2$ y hemos terminado.