¿Homología de los espacios de lentes usando la teoría de Morse?

Question

Para probar la teoría de Morse, un día intenté calcular la homología de los espacios lente. Puedes construir un espacio lente a partir de $S^3 = \{ |z|^2 + |w|^2 = 1: z, w \in \mathbb{C} \}$ utilizando el cociente por $z \mapsto e^{2\pi i /p}z, w \mapsto e^{2\pi i q/p}w$. El cociente por esta acción L(p,q) es un espacio lente.

Con la teoría de Morse se estima los números de Betti de una variedad contando los puntos críticos de un índice específico. Para cualquier función de valores reales $f: L(p,q) \to \mathbb{R}$, buscamos puntos críticos donde $\nabla f(p_0) = 0$. Expandiendo alrededor de p₀ $f(p) = f(p_0) + (p - p_0)^T A (p - p_0) + O(|p - p_0|^2)$ para alguna matriz $A$, el Hessiano. Si los autovalores de A son reales y no nulos y los valores críticos de f son todos diferentes, entonces $f$ se llama "Morse". La teoría de Morse dice que L(p,q) es homotópico a un complejo CW con un complejo de celdas de dimensión k para cada punto crítico de índice k.

La función Morse que elegí es $h = r \cos p\theta$ donde $r, \theta$ provienen de $z = r e^{i \theta}$. También dejemos que $w = \rho e^{i \phi}$. Esta función está bien definida en el espacio lente L(p,q) y sus puntos críticos son (+/-1,0,0,0) y sus imágenes bajo la transformación de mazo. Para ver esto, nota que el gradiente en este sistema de coordenadas es $$\nabla = \left( \frac{\partial }{\partial r}, \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta},, \frac{\partial }{\partial \rho}, \frac{1}{\rho} \frac{\partial }{\partial \phi}\right) $$ y buscas puntos donde el gradiente es normal a S3. Sin embargo, $H_1[L(p,q)]= \mathbb{Z}/p$ sugiriendo que deberíamos tener un punto de silla de índice 1.

Me dijeron que la teoría de Morse solo te da la homología singular $\mathbb{R}$. ¿Encontré todos los puntos críticos correctamente? ¿Hay alguna forma de obtener la homología $\mathbb{Z}$ usando la homología de Morse u otra pieza de la topología diferencial?

Answer 1

¿Hay alguna forma de obtener la homología $\mathbb{Z}$ a través de la Homología de Morse? Sí, de hecho, históricamente, las ideas subyacentes y las construcciones a través de líneas de flujo fueron uno de los primeros intentos de construir concretamente la homología de una variedad. De hecho, me parece que esta construcción fue un poco abandonada por un tiempo, especialmente por los analistas funcionales, porque la teoría de Morse alternativa a través de conjuntos de nivel, popularizada por Richard Palais en los años '60, era de alguna manera más simple, ya que no utilizaba argumentos de transversalidad. Luego, el complejo de Morse y la construcción de la homología volvieron de repente a estar de moda después del trabajo de Andreas Floer, en el que se convirtió en una herramienta espectacular para construir nuevos invariantes con el objetivo de demostrar la conjetura de Arnold.

En cualquier caso, sí, definitivamente puedes realizar la construcción del complejo de Morse con coeficientes en $\mathbb{Z}$ para una funcional $C^2$ $f$, incluso en una variedad de Hilbert de dimensiones posiblemente infinitas $M$, y demostrar que la homología resultante es isomorfa a la singular, siempre que la funcional cumpla una serie de propiedades (algunas se dan de forma gratuita en el caso de variedades compactas).

Específicamente, esta funcional debe estar acotada desde abajo; tener puntos críticos no degenerados (es decir, con operador Hessiano invertible) con índices de Morse finitos; debería tener conjuntos de nivel completos y, por último, debería satisfacer la condición de compacidad de Palais-Smale (PS). A través de una perturbación $C^{\infty}$-pequeña de la métrica, como una aplicación del teorema de Sard-Smale, puedes incluso asumir que el flujo negativo del gradiente de $f$ tiene la propiedad de que para cualquier par de puntos críticos $x$ e $y$, cuyos índices de Morse $m(x)$ y $m(y)$ difieren en un máximo de 2 (ese es un detalle técnico), el subespacio inestable $W^u(x)$ de $x$ y el subespacio estable $W^s(y)$ de $y$ se encuentran de forma transversal.

Como consecuencia, estas intersecciones son subvariedades embebidas invariables bajo el flujo, de una dimensión igual a $m(x)$ - $m(y)$ (así que vacías si $m(x)$ $\leq$ $m(y)$). Y orientables de manera canónica, comenzando desde orientaciones elegidas arbitrariamente de todos los subespacios inestables de los puntos críticos (el subespacio inestable de un punto crítico es una subvariedad embebida difeomorfa a su espacio tangente, cuya dimensión coincide con el índice de Morse del punto crítico). Nota: estas intersecciones son orientables en cualquier caso, incluso si $M$ no lo es. Además, si $m(x)-m(y)\leq1$, se encuentran en cualquier conjunto de nivel regular de $f$ en un conjunto compacto (por lo tanto, finito).

Como probablemente sepas, esto permite definir $C_k(f)$ como el grupo abeliano libre generado por el conjunto (posiblemente infinito) $\mathrm{crit}_k(f)$ de todos los puntos críticos de índice $k$; además, un operador de borde $$\partial:C_k(f)\to C_{k-1}(f)$$

está bien definido por extensión lineal a partir de los generadores $\mathrm{crit}_k(f)$. Simplemente envía $x\in \mathrm{crit}_k(f)$ a una cierta suma algebraica de los puntos finales $y$ de todas las líneas de flujo que parten de $x$ en el tiempo $-\infty$, y convergen hacia puntos críticos $y$ de índice $m(x)-1$ en el tiempo $+\infty$. La propiedad de compacidad mencionada asegura que hay un número finito de estas líneas de flujo; y el signo delante de cualquier $y$ en la suma se elige como + o - según si la orientación de $W^u(x)\cap W^s(y)$ coincide o no con la inducida por el flujo del gradiente. Luego se demuestra que de esta manera se ha definido realmente un verdadero borde, es decir, que la relación $\partial^2=0$ se cumple. Finalmente, se demuestra que el complejo correspondiente produce la homología singular. Y esta es la homología de Morse con coeficientes en $\mathbb{Z}$. (No está completamente claro para mí si tu consulta tenía un enfoque general, o estaba dirigida específicamente a tu función específica. Espero que recordar los hechos generales pueda ser de ayuda de todos modos.)

Advertencia. En realidad, esta es una de las formas en que la gente cuenta la historia; no involucra demasiadas tecnicidades (si se hace bien), pero todo parece como una especie de magia. De hecho, toda la historia debería comenzar con una decomposición celular inducida por la funcional; esto hace que el isomorfismo de las homologías sea un hecho más general y natural sobre homologías celulares (si quieres entender la homología de Morse, lee el capítulo 5 de Lectures on Algebraic Topology de Albrecht Dold, sobre espacios celulares y complejos celulares); y luego la bonita imagen del complejo de Morse con puntos y líneas se convierte más bien en una representación (del complejo celular) que en una construcción inteligente, que incluso está más cerca del desarrollo histórico de estas ideas por gigantes como Morse, Bott, Thom, Smale.

Answer 2

Intenté una computación, espero que esté correcta. Consideré el mapa h = Re $z^p$ + Re $w^p$ en la esfera, y encontré cuatro conjuntos de puntos críticos: (1) ($\mu_{1}^{+} / \sqrt{2}$, $\mu_{2}^{+} / \sqrt{2}$), (2) ($\mu_{1}^{-}/ \sqrt{2}$, $\mu_{2}^{-} / \sqrt{2}$), (3) ($\mu_{1}^{+}$, 0) y (0, $\mu_{2}^{+}$), (4) ($\mu_{1}^{-}$, 0) y (0, $\mu_{2}^{-}$), donde $\mu_{j}^+$ denota una p-raíz de 1 y $\mu_{j}^-$ denota una p-raíz de -1.

El primer conjunto da máximos (donde h = 2), el segundo conjunto da mínimos (h = -2) y los otros dos dan puntos de índice 1 y 2 (creo). El primer y segundo conjunto contribuyen a p puntos en el espacio lente, los otros dos contribuyen con 2 puntos cada uno. Tal vez hacer homología de Morse como sugirió Pietro, contando líneas de flujo conectadas, te da el resultado correcto... pero no lo he intentado.

Answer 3

Sí, hay una manera de obtener la homología $\mathbb{Z}_2$ de espacios de lentes arbitrarios a través de una generalización de la teoría de Morse, llamada homología Morse-Bott. Considera la función Morse-Bott $$f \colon S^{2n - 1} \to \mathbb{R}, \qquad f(z_1,\dots,z_n) := \sum_{j = 1}^n j |z_j|^2.$$ El conjunto crítico es una unión disjunta de $n$ círculos $S^1$. Observa que $f$ es invariante bajo la rotación $$\varphi \colon S^{2n - 1} \to S^{2n - 1}, \qquad \varphi(z_1,\dots,z_n) := (e^{2\pi i k_1/m}z_1,\dots,e^{2\pi i k_n/m}z_n),$$ donde $m \geq 2$ es un número natural y $k_1,\dots,k_n \in \mathbb{Z}$ son coprimos con $m$. Entonces el cociente $S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m$ es un espacio de lentes. Ahora elige una función Morse $\mathbb{Z}_m$-invariante en $S^1$. El complejo de cadenas resultante se ilustra a continuación para $m = 4$:

Al pasar al cociente a través de la acción de $\mathbb{Z}_m$ resulta en el complejo de cadenas acíclico

$$0 \to \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \dots \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \to 0$$

si $m$ es par y en $$0 \to \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{1}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \dots \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{1}{\to} \mathbb{Z}_2 \overset{0}{\to} \mathbb{Z}_2 \to 0$$

si $m$ es impar. Así que la homología resultante es

$$HM_k(S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m;\mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_2 \qquad \forall 0 \leq k \leq 2n - 1$$ si $m$ es par y $$HM_k(S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m;\mathbb{Z}_2) \cong \begin{cases} \mathbb{Z}_2 & k = 0,2n-1,\\ 0 & k \neq 0, 2n - 1. \end{cases}$$ si $m$ es impar. Esto coincide con la homología singular $H_*(S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m; \mathbb{Z}_2)$ como se esperaba, ya que la homología Morse-Bott es independiente de la elección de la función Morse-Bott y por lo tanto coincide con la homología Morse ordinaria con coeficientes de $\mathbb{Z}_2$.

Más generalmente, si se pueden definir orientaciones coherentes en el entorno de Morse-Bott, lo cual debería ser posible en este entorno simple y de hecho es parte de mi investigación futura, entonces el complejo de cadenas resultante con coeficientes de $\mathbb{Z}$ modulo la acción de $\mathbb{Z}_m$ está dado por

$$0 \to \mathbb{Z} \overset{0}{\to} \mathbb{Z} \overset{m}{\to} \mathbb{Z} \overset{0}{\to} \dots \overset{0}{\to} \mathbb{Z} \overset{m}{\to} \mathbb{Z} \overset{0}{\to} \mathbb{Z} \to 0$$

y así la homología inducida coincide nuevamente con la homología singular $H_*(S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m;\mathbb{Z})$ como

$$HM_k(S^{2n - 1}/\mathbb{Z}_m;\mathbb{Z}) \cong \begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0,2n - 1,\\ \mathbb{Z}_m & 0 < k < 2n - 1, k \text{ impar},\\ 0 & \text{en otro caso}. \end{cases}$$