El universo que Grothendieck pretende sugerir por su notación es conocido en teoría de conjuntos como HF, la clase de conjuntos hereditariamente finitos, los conjuntos que son finitos y tienen todos los elementos finitos y elementos-de-elementos, y así sucesivamente (el cierre transitivo debe ser finito). El conjunto HF es el mismo que $V_\omega$ en la jerarquía de Levy, y se puede construir comenzando con el conjunto vacío y calculando iterativamente el conjunto de partes, recolectando todo lo que se produce en cualquier etapa finita. Este es el conjunto transitivo no vacío más pequeño que está cerrado bajo el conjunto de partes. Satisface todos los axiomas del universo de Grothendieck, excepto que no tiene elementos infinitos, ya que ninguno aparece en ninguna etapa finita de esta construcción.
Hay una presentación interesante de este universo mediante una simple relación en los números naturales. Es decir, define $n\ E\ m$ si el $n^{\rm th}$ bit en la expansión binaria de $m$ es $1$. La estructura $\langle\mathbb{N},E\rangle$ es isomorfa a $\langle HF,{\in}\rangle$ mediante el mapa $\pi(n)=\{\pi(m)\,|\,m\,E\,n\}$, que los teóricos de conjuntos reconocerán como el colapso de Mostowski de $E$.
Dado que HF no tiene ningún elemento infinito, es un universo bastante empobrecido para muchas aplicaciones de ese concepto. Por lo tanto, naturalmente buscamos universos más grandes. Pero la dificultad es que no podemos probar que existen. La dificultad no es de "descubrimiento", sino más bien simplemente que podemos demostrar que la hipótesis de la existencia de un universo que contiene conjuntos infinitos es demasiado fuerte para que la probemos a partir de nuestros axiomas habituales. La razón es, como se ha señalado en algunas de las otras respuestas y comentarios, todos los demás universos de Grothendieck tienen la forma $H_\kappa$, los conjuntos hereditariamente de tamaño menor que $\kappa$, para un cardinal inaccesible $\kappa$. Por lo tanto, esto es similar a HF, que es $H_\omega$, pero en un nivel más alto, y en este sentido, estos universos más altos no son tan misteriosos. Son intensamente estudiados en teoría de conjuntos, como parte del esfuerzo de investigación en grandes cardinales.
En esta respuesta de MO, menciono varios conceptos de universo más débiles que podemos probar que existen, y que creo que sirven para la mayoría de usos del concepto de universo en teoría de categorías, si uno quisiera preocuparse más por este tipo de problemas teóricos de conjuntos.
