Supongamos que se te da una función holomorfa en $\{Re(z)>0\}$ tal que $f(z)=\overline{f(\overline{z})}$.
Además, supongamos que para cualquier secuencia $\{z_k\}_{k\in\mathbb{N}}$ tal que: $\limsup_{k\to\infty}\frac{\lvert z_k\rvert}{Re(z_k)}\leq C$ para algún $C$ positivo y $Re(z_k)\to 0$. Entonces asumimos que $f$ satisface para tal secuencia y cualquier $n=0,1,\ldots$:
\begin{equation} \lim_{k\to\infty} z_k^n\partial_z^nf(z_k)=0, \end{equation}
donde $\partial_z^n$ denota la n-ésima derivada compleja con respecto a $z$.
Además, para evitar contraejemplos triviales, asumimos que para cualquier $y\in\mathbb{R}$:
\begin{equation} \limsup_{x\to\infty} \lvert f(x+iy)\rvert\leq D_y, \end{equation}
para algún $D_y>0.
¿Es esta función constantemente $0$?
EDITAR: Pido disculpas por la edición. Explicación con palabras: Tengo una función holomorfa definida en el semiplano derecho abierto que está acotada en líneas horizontales y para la cual los límites radiales de $f$ y alguna manipulación de sus derivadas en cero son cero. Mi primera pregunta, mal formulada, era si tal función debería ser cero, pero fácilmente se puede entender que $f(z)=z$ es un contraejemplo, con cualquier polinomio para el cual $p(0)=0$. Sin embargo, mi suposición sobre las líneas horizontales excluye estos casos fáciles, generando la pregunta anterior.
