¿Cuándo son iguales dos tensores simples $m' \otimes n'$ y $m \otimes n$? (producto tensorial sobre módulos)

Question

Supongamos que $M$ es un módulo a la derecha de $R$ y $N$ es un módulo a la izquierda de $R$. Podemos construir $M \underset{R}\otimes N$ y darle una estructura de grupo abeliano considerando el módulo libre de $R$ generado por las relaciones $\{(x+x',y)-(x,y)-(x',y),(x,y+y')-(x,y)-(x,y'),(xr,y)-(x,ry)\}$ y luego cocientando $M \times N$ por $K$. Si $R$ es conmutativo, este grupo abeliano se convierte en un $R$-módulo en sí mismo.

Ahora, la pregunta es, ¿qué significa $m' \otimes n' = m \otimes n$ en esta situación? Entonces, si me dieran dos tensores simples, ¿cómo podría saber si son iguales o no?

He estado pensando en esto durante un tiempo, pero todavía es bastante vago para mí. Una pregunta más simple es ¿cuándo es $m \otimes n=0$ en $M \underset{R}\otimes N$?

Answer 1

Hay dos respuestas triviales y una respuesta más profunda:

1) $m \otimes n = m' \otimes n'$ significa que $(m,n) - (m',n')$ se encuentra en el submódulo mencionado de relaciones bilineales

2) $m \otimes n = m' \otimes n'$ significa que $\beta(m,n)=\beta(m',n')$ para todos los mapas bilineales de $R$ $\beta : M \times N \to T$, donde $T$ es cualquier grupo abeliano.

3) Tenemos el siguiente teorema:

Elija conjuntos generadores $E$ de $M$ y $F$ de $N$. Cada elemento de $M \otimes_R N$ se puede escribir como $\sum_{e \in E} e \otimes n(e)$, donde $n : E \to N$ es una función con soporte finito. Se anula si y solo si hay un mapa $\lambda : E \times F \to R$ ("matriz") con soporte finito tal que

$$\forall e \in E ~: ~ n(e) = \sum_{f \in F} \lambda(e,f) \cdot f$$ $$\forall f \in F~ : ~ 0 = \sum_{e \in E} e \cdot \lambda(e,f) $$

Referencia: Pierre Mazet, Caracterizacion des epimorphismes par relations et generateurs

En cualquier caso, se ve que es muy difícil decidir si $m \otimes n = m' \otimes n'$ se cumple o no. Pero esto no causa ningún problema al trabajar con el producto tensorial, ya que su propiedad universal es lo único que importa y con lo que se pueden probar propiedades del producto tensorial.

Aquí hay más evidencia de que es difícil determinar cuándo dos tensores puros son iguales: Si $R$ es un anillo conmutativo, llamemos a un módulo $R$-module $M$ simtrivial si $m \otimes n = n \otimes m$ se cumple para todos $m,n \in M$. Si $M$ es finitamente generado, entonces el Lema de Nakayama implica que $M$ es simtrivial si y solo si $M$ es localmente cíclico, es decir, hay una cobertura abierta $\mathrm{Spec}(R)=\bigcup_i D(f_i)$ tal que cada módulo $R_{f_i}$ $M_{f_i}$ es cíclico. Esto falla completamente cuando $M$ no está finitamente generado. Entonces, ¿cómo clasificar módulos $R$-simtriviales arbitrarios? Espero ver una respuesta algún día. Mientras tanto, Will Sawin ha clasificado los módulos simtriviales en caso de que $R$ sea un dominio Dedekind en mathoverflow. De esta clasificación se ve que (incluso para $R=\mathbb{Z}$) hay muchos módulos simtriviales.