Demuestra que $\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+\zeta$ usando la sustitución trigonométrica

Question

Es sabido que $\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\zeta$.

Intenté verificar la fórmula utilizando la sustitución trigonométrica y tuve algunos problemas.

---

Aquí están todos mis pasos:

$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{a}\int\frac{sec(\theta)\:d\theta}{tg(\theta)}=\frac{1}{a}\int{csc(\theta)}\:d\theta=-\frac{1}{a}\ln\left(\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}+\frac{a}{x}\right)+\zeta\Rightarrow\theta=\sec^{-1}(\frac{x}{a})$.

¿Cómo puedo continuar para obtener $\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|$?

Answer 1

Si no me equivoco, no puedes calcular esta integral sin usar fracciones parciales. Si haces la sustitución $x= a \sec(\theta)$, tu integral "se simplifica" a $\int \frac{d \theta}{a \sin \theta}$, a partir de la cual puedes escribir $\sin \theta = \sqrt {1-\cos^2 \theta}$ y usar la sustitución $y=\cos x$, lo que lleva a la integral $-\frac{1}{a}\int \frac{dy}{1-y^2}$, ¡que es más o menos con lo que empezaste!

Así que la única manera (¿sensata?) es notar que $$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx = \frac{1}{2a}\left[\int\frac{1}{x-a}dx - \int\frac{1}{x+a}dx\right]$$ y la solución sigue inmediatamente ya que estas son integrales elementales.

Answer 2

$\DeclareMathOperator{\sech}{sech}$Si importa, el paso donde integras $\csc$ parece estar mal; debería ser $$ \frac{1}{a} \int \csc\theta\, d\theta = -\frac{1}{a} \log\left\lvert\csc\theta + \cot\theta\right\rvert + C = -\frac{1}{a}\log\left\lvert\frac{x + a}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}\right\rvert + C. $$ Luego factoriza el radicando como una diferencia de cuadrados y usa propiedades de los logaritmos.

Otro enfoque (además de fracciones parciales y verificar la fórmula mediante diferenciación), incidentalmente, es usar la sustitución hiperbólica $x = a\tanh u$, $dx = a\sech^{2} u\, du$ que conduce a $$ \int \frac{dx}{x^{2} - a^{2}} = \int \frac{a \sech^{2} u\, du}{a^{2} \sech^{2} u} = \frac{1}{a} u + C = \frac{1}{a} \tanh^{-1} \frac{x}{a} + C = \frac{1}{2a} \log \left\lvert \frac{x - a}{x + a} \right\rvert + C. $$

Answer 3

Otra manera

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\zeta\right)=\frac{1}{2a}\frac{\frac{(x+a)-(x-a)}{(x+a)^2}}{\frac{x-a}{x+a}}=\frac{1}{(x-a)(x+a)}=\frac{1}{x^2-a^2},$$

y así,

$$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+\zeta.$$