Número de particiones enteras módulo 3

Question

Motivado por Paridad del número de particiones de $n!/6$ y $n!/2$, le pedí a mi computadora (y a mi paquete FriCAS para adivinar) una ecuación diferencial algebraica para el número de particiones enteras módulo 3. Esto es lo que respondió:

(1) -> s := \[partición n for n en 1..\]

   (1)  \[1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, ...\]
                                                        Type: Stream(Integer)
(32) -> guessADE(\[s.i for i en 1..400\], safety==290, maxDerivative==2)$GUESSF PF 3

   (32)
   \[
     \[
         n
       \[x \]f(x):
               3    2      2          ,,       4 ,   3       3          2  ,   2
             (x f(x)  + 2 x f(x) + x)f  (x) + x f (x)  + (2 x f(x) + 2 x )f (x)

           +
                            ,            2
             (2 x f(x) + 2)f (x) + 2 f(x)

         =
           0
       ,
                          3      4
      f(x) = 1 + 2 x + 2 x  + O(x )\]
     \]

Por supuesto, esto es solo una suposición, pero parece estar bastante bien probado. Solo se necesitaron 110 términos para adivinar la recurrencia, todos los otros 290 se usaron para verificarla.

Mi pregunta es: ¿esto es conocido, y si no, es interesante?

Answer 1

Bueno, $f''f^2 +xf' ^3+2ff'^2 =0$ módulo 3 para $f=\prod(1-x^m)=\sum_{n\in \mathbb{Z} } (-1)^nx^{n(3n+1)/2}$ puede verse rápidamente de la siguiente manera.

Diferenciando la serie de potencias para $f$ y expandiendo los corchetes vemos que debemos probar que $$ \sum_{a(3a+1)/2+b(3b+1)/2+c(3c+1)/2=n} (-1)^{a+b+c} \left(a(a-2)-abc+2ab\right) $$ es divisible por 3. Multiplicando la suma por 3 y usando el cambio cíclico de variables la reducimos a probar que la suma $$ \sum_{a(3a+1)/2+b(3b+1)/2+c(3c+1)/2=n} (-1)^{a+b+c} \left( a(a-2)+b(b-2)+c(c-2)-3abc+2ab+2bc+2ac\right) $$ es divisible por 9.

El sumando es $(a+b+c) (a+b+c-2)-3abc$. Si $a=b=c$ esto es $9a^2 - 3(a^3+2a)$, divisible por 9. Otros triples se dividen permutando las variables en 3-tuplas y 6-tuplas, por lo que la suma de $3abc$ es, por supuesto, divisible por 9. En cuanto a $a+b+c$, es congruente a $2n$ módulo 3, por lo que a menos que $n=3t+2$ la expresión $(a+b+c) (a+b+c-2)$ es divisible por 3, como necesitamos.

Resta mostrar que para $n=3m+2$ la suma de $(-1)^{a+b+c}$ sobre nuestros triples es divisible por 9. En otras palabras, el coeficiente de $x^{3m+2} $ en $f^3$ debe ser divisible por 9. Tenemos $$ f^3=\prod (1-x^k)^3 =\prod (1-x^{3k}+3(x^k-x^{2k})). $$ Expandiendo los corchetes y reduciendo módulo 9 debemos probar que la expresión $$ [x^{3m+2} ] 3 f(x^3) \sum_k \frac{x^k-x^{2k} } {1 - x^{3k} } $$ es divisible por 9. Pero en la última suma $\sum_k (x^k-x^{2k}+x^{4k}-x^{5k}+\dots) $ todos los coeficientes de las potencias $x^{3s+2} $ se cancelan, ya que si $3s+2=kr$, los términos $x^{kr} $ y $x^{rk} $ van con diferentes signos.

Answer 2

La función $\,h(x) := \prod_{n=1}^\infty (1 - x^n)\,$ es conocida como una función theta de Ramanujan. Esencialmente, es la función $\eta$ de Dedekind. La conexión es $\,f(q) := q h(q^{24}) = \eta(24\tau)\,$ donde $\,q=\exp(2\pi i \tau).\,$ Diferenciando obtenemos $\, dq = (2\pi i)\, q\, d\tau,\,$ y $$ \frac{d}{d\tau} f(q) = (2\pi i)\, q\, f'(q).$$ Dado que todas las potencias de $\,q\,$ en $\,f(q)\,$ son de la forma $\,q^{24n+1}\,$, entonces la congruencia $\,f'(q) - f(q) \equiv 0 \pmod 3\,$ se cumple.

Si usamos el original $\,h(x)\,$, entonces hay un resultado similar pero más complicado usando exponentes módulo $3$. Sea $\,A = A(x) := h(x)\,$ y sea $\,A_0\,$ todos los términos de $\,A\,$ donde el exponente de $\,x\,$ es $0$ módulo $3$, y similarmente para $\,A_1\,$ y $\,A_2\,$ de modo que $\,A = A_0+A_1+A_2.\,$ Esto es la trisección de la serie de potencias $\,A.\,$ Consulta mi ensayo A Multisection of q-Series para la agradable identidad $$ 0 = A_2 A_0^2 + A_0 A_1^2 + A_1 A_2^2. \tag{1}$$ Ahora sea $\, B = B(x) := A'(x)\,$ y sea $\,B_0,B_1,B_2\,$ la trisección de $\,B.\,$ Es fácil mostrar que $$ q\,B_0 \equiv A_1,\quad q\,B_1 \equiv -A_2, \quad B_2 \equiv 0 \pmod 3.$$ Ahora sea $\, C = C(q) := A''(x)\,$ y sean $\,C_0,C_1,C_2\,$ la trisección de $\,C.\,$ Es fácil mostrar que $$ q^2\,C_0 \equiv -A_2, \quad C_1 \equiv C_2 \equiv 0 \pmod 3.$$ Cuando hacemos estas sustituciones en la expresión $$ h''(x) h(x)^2 + x\, h'(x)^3 + 2\,h(x)h'(x)^2 \tag{2}$$ y reducimos módulo $3$, obtenemos la agradable identidad $(1)$.