Sea $\pi: M \rightarrow N$ una aplicación suave. Si consideramos un campo vectorial $Y$ en $N$, sé que, si $\pi$ es un difeomorfismo local, existe un campo vectorial único $X$ en $M$ tal que $\pi_*X = Y$. Me preguntaba si podemos debilitar esta hipótesis: ¿Existe un campo vectorial $X$ con $\pi_*X = Y$ si $\pi$ es solo una submersión sobreyectiva, y no un difeomorfismo local? Parece bastante intuitivo porque para cada $p$, como $\pi_{*p}$ es sobreyectiva, hay al menos un $X_p$ tal que $\pi_{*p}X_p = Y(p)$, pero tengo algunas dificultades para demostrar que podemos construir un $X$ suave con $X_p = X(p)$.
Respuesta
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Sí, hay al menos un campo vectorial así, siempre y cuando $\pi$ sea una sumersión suave (no necesariamente sobreyectiva).
Por el teorema de la dimensión, siempre podemos encontrar coordenadas locales $(U,\varphi),(V,\vartheta)$ tales que $\vartheta\circ\pi\circ\varphi^{-1}(x_1,\dots,x_m)=(x_1,\dots,x_n)$. Localmente, $Y=\sum Y^i\partial_{\vartheta^i}$. Si definimos $X$ como $\sum_{i=1}^n Y^i(\pi(x))\partial_{\varphi^i}$, entonces es claro que $d\pi (X_p)=Y_{\pi(p)}$: el problema es que $X$, definido de esta manera, no es un campo vectorial global.
Para obtener uno, debemos usar una construcción ligeramente diferente: sea $(U_\alpha,\varphi)$ un recubrimiento abierto de $M$ (de manera que, junto con las coordenadas $(V_\alpha,\vartheta_\alpha)$ de $N$, $\pi$ tenga la forma requerida) y sea $\sum\tau_\alpha$ la partición de la unidad subordinada a ese recubrimiento: definimos $$X=\sum_\alpha\sum_{i=1}^n \left(\tau_\alpha Y^i_\alpha\right)(\pi(x))(\partial_{\varphi_\alpha^i}$$ Esto es claramente un campo vectorial. Para ver que cumple con nuestros requisitos, basta con observar que $d\pi(X_p)=\sum_\alpha \tau_\alpha Y_{\pi(p)}=Y_{\pi(p)}$.
