Considera una onda viajera producida por la vibración de un extremo de una cuerda mientras que el otro extremo se mueve libremente a lo largo de una línea vertical. Matemáticamente, la ecuación de la onda viajera que también representa la ecuación de movimiento de cada punto en la cuerda se da de la siguiente manera.
$$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)$$
En el libro que leí, una cierta partícula en la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo perpendicularmente al vector de propagación ya que la onda no transfiere material sino energía.
No estoy de acuerdo con la afirmación de que "una cierta partícula en la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo perpendicular al vector de propagación". Es porque pienso que para mantener el mismo punto en la cuerda moviéndose hacia arriba y hacia abajo, la longitud del arco de $y(x,t)$ debe ser igual a la de $y(x,t+\Delta t)$ para $0\leq x \leq a$ y cualquier $\Delta t$. Sin embargo, según las Notas a continuación, sus longitudes de arco no son generalmente iguales.
Desde la figura anterior, ¿cómo pueden $P$ y $Q$ ser el mismo punto de la cuerda mientras que las curvas roja y azul tienen longitudes diferentes?
Entonces, mis preguntas son: ¿Cada punto de la cuerda se mueve hacia arriba y hacia abajo?
Notas
Desde $x=0$ hasta $x=a$, generalmente la longitud del arco de $y=\sin x$ no es igual a la de $y=\sin(x-x_0)$.
Sea $S(x_0)$ la longitud del arco de $y=\sin(x-x_0)$ para el intervalo dado.
\begin{align} S(x_0) &= \int_0^a\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\, \textrm{d}x\\ &= \int_0^a\sqrt{1+\cos^2(x-x_0)}\, \textrm{d}x\\ \end{align}
Si $S(0)=S(x_0)=\text{constante}$ para cualquier $x_0$ entonces $\frac{\textrm{d}S(x_0)}{\textrm{d}x_0}=0$. Por lo tanto, debo verificar si $\frac{\textrm{d}S(x_0)}{\textrm{d}x_0}=0$ o no.
\begin{align} \frac{\textrm{d}S(x_0)}{\textrm{d}x_0} &= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x_0}\int_0^a\sqrt{1+\cos^2(x-x_0)}\, \textrm{d}x\\ &= \int_0^a\frac{\textrm{d}\left(\sqrt{1+\cos^2(x-x_0)}\right)}{\textrm{d}x_0}\, \textrm{d}x\\ &= \int_0^a\frac{\cos(x-x_0)\sin(x-x_0)}{\sqrt{1+\cos^2(x-x_0)}}\, \textrm{d}x\\ &= \int_{-x_0}^{a-x_0}\frac{\cos y\sin y}{\sqrt{1+\cos^2y}}\, \textrm{d}y\\ &= \sqrt{1+\cos^2 x_0}-\sqrt{1+\cos^2(a-x_0)}\\ &\not = 0 \end{align}
Implica que generalmente no son iguales.
