Tripleta pitagórica primitiva: mostrar que a y b son coprimos

Question

Mostrar que $a$ y $b$ deben ser primos relativos donde $a= m^2 - n^2$ y $ b = 2mn$. A partir de esto, demostrar que $r$ y $s$ son primos relativos. Mostrar que esto implica que $r$ y $s$ también deben ser cuadrados perfectos. $r = n^2$ y $s = m^2$.

Realmente no sé por dónde empezar aquí. Soy nuevo en demostraciones. Mi primera inclinación es sustituir $r$ y $n$ en $a$ y $b$, pero esto no me lleva a ninguna parte. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Permite que $MCD(m,n)=f$ (un factor común) de modo que $(m,n)=(fx,fy)*emphasized text*$.

$$\text{ entonces }A=(m^2-n^2)= f^2x^2-f^2y^2=f^2(x^2-y^2)\quad \land \quad B=2mn=2fxfy=f^2(2xy)$$ $$\text{ entonces }(m,n)\text{ son primos entre sí si y solo si } f=1 $$. Si dos números naturales son primos entre sí, entonces sus cuadrados también lo son porque no tienen factores comunes que cuadrar, como en el ejemplo de $MCD(3^2, 2^2)-1$.

$$\therefore MCD(m,n)=1\land r=m^2\land s=n^2\implies MCD(r,s)=1 $$