Una condición para que una matriz infinita represente un operador acotado en $\ell^2$

Question

Sea $\ell^2=\ell^2(\mathbb{N})$ y sea $e_1,e_2,\ldots$ su base usual. Tengo una matriz infinita $\{\alpha_{ij}\}_{i,j=1}^{\infty}$ tal que $\alpha_{ij} \ge 0$ para todo $i,j$ y tal que existen escalares $p_i>0$ y $\beta,\gamma>0$ con

$\sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{ij}p_{i} \le \beta p_j \quad$ , $\quad \sum_{j=1}^{\infty}\alpha_{ij}p_{j} \le \gamma p_i \quad$ para todo $i,j\ge 1$

Ahora quiero demostrar que existe un operador $A$ en $\ell^{2}(\mathbb{N})$ con $\langle Ae_{j},e_{i}\rangle =\alpha_{ij}$. ¿Sabes cómo debo representar este operador? ¿Debo usar un operador de multiplicación?

Answer 1

Defina $Ae_i=\sum_j a_{ij}e_j$. La acotación de $A$ se sigue de la prueba de Schur.