Atascado con la siguiente pregunta sobre el teorema de descomposición primaria.

Question

Sea $T$ un operador sobre un espacio vectorial $\mathbb{F}$ $\mathbb{V}$, con $\dim(\mathbb{V})<\infty$. Sea $p=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$ el polinomio minimal de $T$, y $\mathbb{V}=W_{1}\oplus\cdots\oplus W_{k}$ la descomposición primaria de $\mathbb{V}$ para $T$.

Sea $\mathbb{W}$ un subespacio T-invariante de $\mathbb{V}$. Necesito demostrar que

$$\mathbb{W}=(\mathbb{W}\cap W_{1})\oplus\cdots\oplus (\mathbb{W}\cap W_{k}) $$

Aquí está mi intento:

Sea $T_w$ un operador lineal obtenido al restringir $T$ a $W$.

Entonces sabemos que el polinomio minimal de $T_w$ divide al polinomio minimal de $T$.

Por lo tanto, el polinomio minimal de $T_w$ = $p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$ donde $0 \le e_i \le r_i$

Ahora sabemos que por el teorema de descomposición primaria

$$\mathbb{W} = \mathbb{W_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{W_k} $$

donde $\mathbb{W_i} = N(p_i(T)^{e_i})$

Vemos que $\mathbb{W_i} \subset W_i $ [Ya que por el teorema de descomposición primaria $W_i = N(p_i(T)^{r_i})]$

También $\mathbb{W_i} \subset \mathbb{W}$ entonces vemos que $\mathbb{W_i} \subset \mathbb{W} \cap W_i$

Sea $w \in \mathbb{W} \cap W_i$ entonces $p_i(T)^{r_i}(w) = 0$ entonces ¿podemos concluir que $p_i(T)^{e_i}(w) = 0?$ Aquí es donde estoy atascado. ¿Alguien puede ayudarme con esto?

Answer 1

Una respuesta a tu pregunta inmediata ya fue proporcionada en los comentarios, pero vale la pena señalar que el resultado se sigue del hecho de que los operadores de proyección $\pi_i:\mathbb{V}\to\mathbb{V}$ en los espacios propios generalizados $W_i$ de $T$ son polinomios en $T$. Dado que $\mathbb{W}$ es invariante bajo $T$, $\mathbb{W}$ también es invariante bajo cada $\pi_i$, y para todo $w\in\mathbb{W}$ tenemos $w=\sum_i\pi_iw$ así que $$\mathbb{W}=(\mathbb{W}\cap W_1)+\cdots+(\mathbb{W}\cap W_k)$$ Esta suma es directa ya que la suma de los $W_i$ es directa.

El hecho de que esto se cumple para cualquier subespacio $T$-invariante $\mathbb{W}$ es en realidad equivalente a que los $W_i$ sean sumas de espacios propios generalizados de $T$.