Demostrar la transitividad de la relación.

Question

Sea $\sim$ una relación donde $x \sim y \Leftrightarrow x = y \lor (x \in I \land y \in I)$. Muestra que $\sim$ es una relación de congruencia en $S$ donde $S= \{a,b, c, d, e\}$ y $I = \{a, d\}$. Uno de los requisitos para demostrar una congruencia es demostrar que $\sim$ es transitiva, es decir, $x \sim y \land y \sim z \implies x \sim z$. Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar esto. Puedo demostrar que $\sim$ es reflexiva y simétrica pero no soy capaz de demostrar la transitividad. Se agradecen cualquier pista.

Answer 1

Supongamos que $x \sim y$ y $y \sim z$. Entonces, por definición, uno de los siguientes cuatro casos debe ocurrir.

1. $x = y$ y $y = z$ en cuyo caso $x = z \implies x \sim z$
2. $(x \in I \land y \in I)$ y $(y \in I \land z \in I)$ en cuyo caso $(x \in I \land z \in I) \implies x \sim z$
3. $x = y$ y $(y \in I \land z \in I)$ en cuyo caso es claro que $(y = x \in I \land z \in I) \implies x \sim z$
4. $(x \in I \land y \in I)$ y $y = z$ en cuyo caso como arriba $(x \in I \land y = z \in I) \implies x \sim z$

De esto se sigue que $x \sim y$ y $y \sim z \implies x \sim z$ y por lo tanto la relación es transitiva. Dado que has mencionado que no tienes problema con probar que la relación es reflexiva y simétrica, omitiré su prueba.