Demostrando que un polinomio tiene solo una raíz positiva.

Question

Deje que $m, n, p\in \mathbb R$, $n>0, p>0$. Demuestre que la siguiente ecuación tiene exactamente una solución positiva:

$$x^5-mx^3-nx-p=0.$$

Aquí está mi intento: Deje que $f(x)=x^5-mx^3-nx-p$, $f$ es continua en $\mathbb R$ y $f(0)=-p<0, \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Esto implica que existe $\xi>0$ tal que $f(\xi)=0$ como consecuencia del teorema de Bolzano-Cauchy. Además, $$f'(x)=5x^4-3mx^2-n.$$ Dado que $(3m)^2+20n>0$ y $-5n<0$, podemos ver fácilmente que $f'(x)=0$ tiene dos raíces $$x=\pm \frac{3m+\sqrt{9m^2+20n}}{10}.$$

¿Cómo puedo verificar que $f(x)=0$ tiene solo una solución positiva?

Answer 1

Creo que tu resultado se sigue del regla de los signos de Descartes. El número de diferencias de signos en tu polinomio es 1, independientemente de si $m$ es estrictamente positivo, estrictamente negativo o cero.

Answer 2

Aquí tienes cómo puedes hacer que tu método funcione:

$f'(x) = 0$ tiene exactamente una solución positiva $$ x=\sqrt{ \frac{3m+\sqrt{9m^2+20n}}{10} } \, . $$

$f(0) = -p < 0$ y $f'(0) = -n < 0$, por lo tanto $f$ tiene un mínimo local en el intervalo $(0, r)$ donde $r$ es la raíz positiva más pequeña de $f$. Así que $f'(x) = 0$ para algún $x \in (0, r)$.

Si $f$ tiene otra raíz positiva $s > r$ entonces $f'(x) = 0$ para algún $x \in (r, s)$, en contradicción con el hecho de que $f'(x) = 0$ tiene solo una solución positiva.

Answer 3

Dejemos $f(x)=x^5-mx^3-nx-p$.

$f(0)<0, \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, entonces el TVM nos dice que $f$ tiene una raíz positiva.

Llamemos a la menor raíz $a$, observando así que $a^5=ma^3+na+p$

Luego, para $x\ge 0, f'(x)=5x^4-3mx^2-n$.

Observa que $f'(a)=5a^4-(3ma^2+n)>5a^4-3(ma^2+n)=5a^4-3(a^4-\frac{p}{a})=2a^4+\frac{3p}{a}>0

Además, para $x\ge a$, $f'(x)=5x^4-3mx^2-n\ge x^2(5a^2-3m)-n\ge a^2(5a^2-3m)-n

Ahora:

• $a^5=ma^3+na+p\implies a^2=m+\frac{n}{a^2}+\frac{p}{a^3}

• $\implies a^2(5a^2-3m)=a^2(2m+\frac{5n}{a^2}+\frac{5p}{a^3})\ge 5n

• $\implies f'(x)\ge5n-n=4n>0$ para $x\ge a

Entonces la función tiene una raíz en $a$, y aumenta a la derecha de $a$, lo que da unicidad.