Encuentra el valor mínimo de $P = \left(3 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)\left(3 + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\left(3 + \frac{1}{c} + \frac{1}{a}\right)$

Question

Para $a, b, c$ son números positivos que satisfacen $a+b+c\leq \frac{3}{2}$, encuentra el valor mínimo de $$P=\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)$$

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Tenemos: $\frac{3}{2}\ge a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\leq\frac{1}{8}$

Tenemos $3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge 7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}$

$\Rightarrow P=\prod 7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^2b^2}}=7^3$

Cuando $a=b=c=\frac{1}{2}$

Parece estar incorrecto para $abc \le \frac{1}{8}$, y necesito otro método.

Answer 1

Si simplemente escribes la desigualdad que obtuviste para el producto explícitamente, lo que tienes, reescribiendo $abc\le{1\over8}$ como ${1\over abc}\ge8, es

$$P\ge\left(7\sqrt[7]{1\over16a^2b^2}\right)\left(7\sqrt[7]{1\over16b^2c^2}\right)\left(7\sqrt[7]{1\over16c^2a^2}\right) =7^3\sqrt[7]{1\over16^3(abc)^4}\ge7^3\sqrt[7]{8^4\over16^3}=7^3\sqrt[7]{2^{12}\over2^{12}}=7^3$$

con igualdad lograda cuando $a=b=c={1\over2}$.

Answer 2

Por AM-GM $\frac{3}{2}\geq a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc},$ lo cual implica $\sqrt[3]{abc}\leq\frac{1}{2}$.

Por lo tanto, por Holder $$\left(3+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(3+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\geq$$ $$\geq\left(3+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\geq(3+2+2)^3=343.$$ La igualdad ocurre cuando $a=b=c=\frac{1}{2}$.

Es decir, la respuesta es $343$.