Tenemos que seleccionar un grupo de 7 de un grupo de 9 hombres y 11 mujeres, ¿cuántos equipos de siete miembros consisten en al menos un hombre?

Question

Tenemos que seleccionar un grupo de 7 de un grupo de 9 hombres y 11 mujeres

P : ¿Cuántos equipos de siete miembros consisten en al menos un hombre?

Ahora sé que la respuesta es ${20 \choose 7}-{11 \choose 7} = 77190$

Pero mi primera respuesta fue ${9 \choose 1}{19\choose 6}=244188$; porque tenemos que seleccionar un hombre y el resto pueden ser hombres o mujeres. Sé que está mal pero no sé por qué. Cualquier ayuda será apreciada.

EDITAR: Lo siento, la pregunta debería ser 9 hombres y 11 mujeres (no 3)

Answer 1

Su respuesta de $\binom91\binom{19}6$ cuenta muchos de los grupos permitidos más de una vez. Supongamos que los hombres son $M_1,\dots,M_9$, y las mujeres son $W_1,\dots,W_{11}$. Considere, por ejemplo, el grupo que consta de $M_1,M_2,M_3,M_4,W_1,W_2$ y $W_3$: se cuenta cuatro veces, una vez por cada uno de los cuatro hombres en él. Lo cuenta una vez cuando cuenta a $M_1$ como el hombre contado por el factor $\binom91$; lo cuenta una vez más cuando cuenta a $M_2$ como ese hombre; y lo cuenta aún una vez más por cada uno de $M_3$ y $M_4$. De hecho, cada grupo de $7$ personas se cuenta una vez por cada hombre en él, y esto resulta en una gran sobrecontabilización.

La manera más fácil de obtener la respuesta correcta es comenzar con los $\binom{20}7$ posibles grupos de $7$ personas y restar los grupos de las $\binom{11}7$ mujeres para obtener un resultado final de grupos que contienen al menos un hombre $\binom{20}7-\binom{11}7$.

Agregado: Una forma mucho más detallada es contar por separado los grupos con un hombre, los grupos con dos hombres, y así sucesivamente. Cuando eliges un grupo con $m$ hombres y $7-m$ mujeres, puedes elegir a los $m$ hombres de $\binom9m$ maneras diferentes y a las $7-m$ mujeres de $\binom{11}{7-m}$ maneras diferentes. Así, por la regla del producto, puedes formar tal grupo de $\binom9m\binom{11}{7-m}$ formas. Por lo tanto, el número total de grupos que contienen al menos un hombre es $$\sum_{m=1}^7\binom9m\binom{11}{7-m}\;,$$ y ciertamente es posible calcular los $7$ términos y sumarlos. Pero es mucho más fácil simplemente tomar el número total posible de grupos de $7$ personas y restar el número fácilmente calculado que no incluye a ningún hombre.

Answer 2

Estás tratando de contar la cantidad de comités con al menos un hombre. Lo que estás contando con $\binom{9}{1}\binom{19}{6}$ es algo diferente.

Imagina (si uno todavía puede imaginar tal cosa) que estás tratando de contar la cantidad de formas de formar un comité de $7$ si las reglas dicen que el Presidente debe ser hombre, con el sexo del resto de las personas sin especificar. Entonces $\binom{9}{1}\binom{19}{6}$ sería la respuesta correcta.

Pero con un comité indiferenciado, estamos contando de más bastante. Lo que estás contando con tu $\binom{9}{1}\binom{19}{6}$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(x,y)$, donde $x$ es cualquier hombre, y $y$ es cualquier grupo de $6$ personas que no contiene a $x$.

Por ejemplo, $x=$ Charlie, $y=\{$Dave, Bob, Mary, Mary-Ann, Jane, Janet$\}$ es uno de los pares ordenados $(x,y)$ contados en tu $\binom{9}{1}\binom{19}{6}$, pero también lo es $x=$ Dave, $y=\{$Charlie, Bob, Mary, Mary-Ann, Jane, Janet$\}$. Sin embargo, estos resultan en el mismo comité de $7$.

Y es complicado compensar por la sobrecontabilización, porque la cantidad de sobrecontabilización depende de la cantidad de hombres elegidos.

Answer 3

Comprende lo que está mal en tu fórmula con este ejemplo simple. Los hombres son A1, A2, A3 y las mujeres son B1, B2, B3. Tenemos que seleccionar 3 personas con al menos un hombre. Aquí la selección se basa en tu fórmula, seleccionando un hombre de A1, A2, A3 y el resto de {B1, B2, B3} + {A1, A2, A3} - {hombre seleccionado}.

ahora veamos esta selección,

A1 de la sección de hombres, A2 y B1 del resto selección I = {A1, A2, B1}

toma otra selección, A2 de la sección de hombres, A1 y B1 del resto

selección II = {A2, A1, B1}

Desafortunadamente, tanto la selección I como la II son iguales. No es una fórmula aceptable.

Answer 4

Si hay un grupo de 9 hombres y 3 mujeres (pregunta original), la respuesta debería ser la siguiente:

Dado que solo hay 3 mujeres, debemos tomar al menos 4 hombres.

Por lo tanto, las combinaciones pueden ser (3m,4h), (2m,5h), (1m,6h), (0,7h)

Por lo tanto, la respuesta debería ser $^3C_3\cdot^9C_4+^3C_2\cdot^9C_5+^3C_1\cdot^9C_6+^3C_0\cdot^9C_7$

Si hay un grupo de 9 hombres y 11 mujeres, la respuesta debería ser la siguiente:

De un grupo de 20 hombres y mujeres, un grupo de 7 miembros puede seleccionarse de $^{20}C_7$ maneras.

Si no permitimos hombres, entonces podemos elegir un grupo de 7 miembros de $^{11}C_7$ maneras.

La diferencia entre las dos combinaciones anteriores es el número posible de combinaciones para un grupo de 7 miembros que tiene al menos un hombre como miembro.