Mi pregunta actual es:
Demuestra que si $f$ es una función uniformemente continua en $\mathbb{R}^n$ y $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$, entonces $f$ está acotada y $\displaystyle\lim_{\|\ x \|\ \to \infty} f(x)=0.$
Donde la definición de $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ con la que estoy trabajando es:
Diremos que $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ si existe una secuencia de funciones simples por escalones $(f_n)$ tales que
(a) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \displaystyle\int |f_n| < \infty$;
(b) $f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) \hspace{.5cm} \forall x\in\mathbb{R}^n \space\ \text{tal que} \space\ \sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)| < \infty .$
Entonces, la integral de $f$ está definida por $$\int f = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_n.$$
Hasta ahora tengo:
Supongamos que $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ y es uniformemente continua en $\mathbb{R}^n$. Queremos demostrar que $f$ está acotada y \begin{align*} \displaystyle\lim_{\|\ x \|\ \to \infty} f(x)=0. \end{align*} Dado que $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ existe una secuencia de funciones simples $(f_j)$ tal que $$f \simeq \sum_{j=1}^{\infty} f_j.$$ Por contradicción, supongamos que $$\lim_{\|\ x \|\ \to \infty} f(x) \neq 0.$$ Entonces, existiría un $\epsilon>0$ y una secuencia creciente de $\|\ x_n \|\ \to \infty$ con $|f(x_n)| > \epsilon$. En otras palabras, $$\|\ x_1 \|\ \leq \|\ x_2 \|\ \leq \dots \|\ x_n \|\ \to \infty,$$ donde estamos tomando subsecuencias, así que podemos suponer $\|\ x_{n+1} \|\ \geq \|\ x_n \|\ $. Entonces, por la continuidad uniforme de $f$ tenemos un $0<\delta <1$ tal que para cada $n$ y para cada $x \in B_{\delta}(x_n)$, tenemos $|f(x)| \geq \frac{\epsilon}{2}$. Entonces, $$\int_\mathbb{R^{\text{n}}}|f(x)|dx\geq\sum_{n=1}^\infty\int_{B_{\delta}(x_n)}|f(x)|dx\geq\sum_{n=1}^\infty \delta\varepsilon=\infty,$$ una contradicción con $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$. Por lo tanto, \begin{align*} \displaystyle\lim_{\|\ x \|\ \to \infty} f(x)=0. \end{align*}
Ahora en cuanto a la acotación de $f$, pensé que sigue inmediatamente porque la condición \begin{align*} \displaystyle\lim_{\|\ x \|\ \to \infty} f(x)=0. \end{align*} implica automáticamente que $f$ está acotada para $f\in C_0(\mathbb{R}^n) \cap L^1(\mathbb{R}^n) \implies f$ está acotada. ¿Estoy en lo correcto? Nota: $$C_0(\mathbb{R}^n) = \left\{ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \big| \lim_{\|\ x \|\ \to \infty} |f(x)| = 0 \right\}.$$
