Axioma del Límite Superior más Pequeño para el Teorema de Heine-Borel

Question

Teorema de Heine-Borel: Cada cubierta abierta $\mathcal{O}$ de un intervalo finito $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ tiene un subcubrimiento finito.

Bosquejo de la Prueba: Considera el conjunto $$X=\{x\in[a,b]\colon [a,x] \mbox{ puede ser cubierto por un número finito de conjuntos abiertos en }\mathcal{O}\}.$$ Entonces $X$ es un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ que está acotado superiormente, por lo que tiene supremo. Mostraremos que $\sup(X)=b$.

Pregunta: ¿Existe otra prueba de este teorema que evite la propiedad de cota superior mínima de $\mathbb{R}$? (En otras palabras, ¿es la propiedad de cota superior mínima de $\mathbb{R}$ esencial para demostrar esto?)

Answer 1

La propiedad de cota superior menor es "necesaria" en el sentido de que se deriva de este resultado.

Si los segmentos en un conjunto linealmente ordenado $F$ son compactos con respecto a la topología de orden, entonces todo subconjunto acotado no vacío de $F$ tiene una cota superior menor.

De hecho, para $x \in A$ todo límite superior de $A$ está en $[x;+\infty[$. Ahora, si $M$ es un límite superior de $A$, entonces $\overline{A \cap [x;M]}$ es un subconjunto cerrado del compacto $[x;M]$, por lo que es compacto y como no está vacío, tiene un máximo $\alpha$.*

$\alpha$ es un límite superior de $A$, si $b \in F$ es un límite superior de $A$, entonces $\overline{A \cap [x;M]} = \overline{A \cap [x;b]}$ por lo que $\alpha \leq b$. Por lo tanto, $\alpha$ es la cota superior menor de $A$.

*Si $(K,<)$ es compacto, suponiendo que no tiene un máximo se puede escribir $K = \bigcup \limits_{x \in K} O_x$ donde $O_x = \{y \in K \ | \ y < x\}$. Por compacidad, hay una subcubierta finita cuyo índice más grande $x_0$ es tal que $K = O_{x_0}$, así que $x_0 > x_0$.