Sobre el anillo de Witt de un campo cuadráticamente cerrado

Question

Teorema 3.2. $F$ es cuadráticamente cerrado si y solo si $\dim \colon \widehat{W}(F) \to \mathbb{Z}$ es un isomorfismo. En este caso $W(F) \overset{\sim}{\longrightarrow} \mathbb{Z}_2$.

Prueba. Supongamos que $q$ es una forma. Tenemos $$ q = \langle a_1 \rangle \perp \langle a_2 \rangle \dotsb \langle a_n \rangle = \langle b_1^2 \rangle \perp \langle b_2^2 \rangle \dotsb \langle b_n^2 \rangle = n \langle 1 \rangle. $$ Así que, el mapa $\dim$ es un isomorfismo. También $q - q' = (\dim q - \dim q') \langle 1 \rangle \in \widehat{W}(F)$. Por lo tanto, $\dim$ también es inyectivo. Nota $\mathbb{H} \mapsto 2$.

(Imagen original aquí.)

Sé que $q$ se puede escribir como cuadrados, pero entonces, ¿cómo pueden escribirlo como $n \langle 1 \rangle$, solo está diciendo que son entonces $n$ copias de $1$ para inducir algún mapa de dimensión?

Answer 1

Bueno, para cualquier $b\in F^*$, tenemos un isomorfismo obvio $\langle b^2\rangle\simeq \langle 1\rangle$. Dado que los isomorfismos son compatibles con sumas ortogonales, hemos terminado.

Pero tal vez estés confundido por el hecho de que haya errores tipográficos. Debería leerse así:

$q=\langle a_1\rangle\perp\langle a_2\rangle\perp\cdots\perp\langle a_n\rangle= \langle b_1^2\rangle\perp\langle b_2^2\rangle\perp\cdots\perp\langle b_n^2\rangle=n\langle 1\rangle$, donde $n\langle 1\rangle$ significa en efecto $n$ copias ortogonales de $\langle 1\rangle$