Conmutabilidad de dos matrices de cantidades físicas

Question

Supongamos que dos matrices $A$ y $B$, que representan una cantidad física real ($\mathbb{R}$), pueden ser multiplicadas conmutativamente entre sí; es decir, $AB = BA$. Sin embargo, cada matriz no siempre puede ser multiplicada conmutativamente con otras matrices (obviamente). Si dos matrices representan una cantidad física, ¿se puede afirmar que tienen valores definidos juntas? ¿O como dos matrices no pueden ser multiplicadas conmutativamente con otras matrices, no es posible que dos matrices tengan valores definidos juntas?

Además, supongamos que $C=A+B$. Si $A$ y $B$ pueden ser multiplicadas conmutativamente entre sí, ¿tiene $C$ valores definidos? Si $A$ y $B$ no pueden ser multiplicadas conmutativamente entre sí, ¿hay alguna forma en que $C$ pueda tener valores definidos?

Answer 1

Si dos operadores reales (es decir, autoadjuntos) $A$ y $B$ no conmutan en la intersección de sus dominios, no tienen una base de eigenvectores comunes, por lo tanto no tienen una distribución conjunta de probabilidad. En este caso, $C=A+B$ no necesita ser autoadjunto, por lo tanto no siempre representa un observable (aunque siempre es Hermítico). Se necesita alguna condición de compatibilidad de dominio para la autoadjunción de $C$. (Para matrices de dimensión finita, Hermítico implica autoadjunto, sin embargo.)

Pero si dos operadores autoadjuntos $A$ y $B$ conmutan en un dominio denso común, tienen una distribución conjunta de probabilidad, y en un estado donde $A$ y $B$ tienen valores definidos $a$ y $b$, cualquier función $f(A,B)$ con $f(a,b)$ finito tiene el valor definido $f(a,b)$ en dicho estado. En particular, esto se cumple para $C=A+B$.