$\lim_{t\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)(f(x)-f(x+t))dx=0$

Question

Sea $f$ integrable sobre $\mathbb{R}$. Suponga que $g$ es una función medible acotada en $\mathbb{R}$. Demuestra que $$\lim_{t\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)(f(x)-f(x+t))dx=0.$$

Idea de la prueba: Suponga que $g$ es una función medible acotada, entonces existe algún $M$ tal que $|g(x)|

Dado que $f$ es integrable, $f$ es finito casi en todas partes, por lo que $f$ está acotado casi en todas partes por $h(x)=B$. Dado que $f(x+t)$ converge a $f(x)$ cuando $t\rightarrow 0$, por el teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, $$\lim_{t\rightarrow 0}\int_{\mathbb{R}}|f(x)-f(x+t)|dx=0.$$

Por lo tanto, $$\left|\lim_{t\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}g(x)(f(x)-f(x+t))dx\right|\leq M\lim_{t\rightarrow 0}\int_{\mathbb{R}}|f(x)-f(x+t)|dx=0.$$

¿Es lo anterior correcto?

Answer 1

Como dijiste, existe $M>0$ tal que $|g(x)|\leq M$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Ahora sea $\epsilon>0$. Dado que las funciones continuas con soporte compacto son densas en $L(\mathbb{R})$, existe una función continua $h\in L(\mathbb{R})$ con soporte compacto tal que: \begin{align} \int_\mathbb{R} |f(x)-h(x)|\,dx < \frac{\epsilon }{3M} \end{align}

Entonces: \begin{align} \bigg|\int_\mathbb{R}g(x)(f(x+t)-f(x))\,dx \bigg | &\leq \int_\mathbb{R}|g(x)||f(x+t)-f(x)|\,dx\\ &\leq M\int_\mathbb{R}|f(x+t)-f(x)+h(x+t)-h(x+t)|\,dx\\ &\leq M\int_\mathbb{R}|f(x+t)-h(x+t)|\, dx+M\int_\mathbb{R}|f(x)-h(x+t)|\,dx\\ \end{align} Ahora utiliza el TDC como lo hiciste en la integral del RHS para obtener: \begin{align} \lim_{t\to 0} \int_\mathbb{R}|f(x)-h(x+t)|\,dx = \int_\mathbb{R}|f(x)-h(x)|\,dx \end{align} Porque $h$ es continua. Por lo tanto: \begin{align} \lim_{t\to 0} \bigg|\int_\mathbb{R}g(x)(f(x+t)-f(x))\,dx \bigg | \leq M\frac{\epsilon}{3M} + M\frac{\epsilon}{3M} < \epsilon \end{align> Dado que $\epsilon>0$ era arbitrario, el resultado sigue.