¿Si $H, K$ son subgrupos de $G$, entonces $HK = G$?

Question

Esta es una pregunta que tengo cuando leo la prueba de "grupo de orden $15$ es cíclico". Así que sean $H$ y $K$ los $p$-grupos de Sylow de $G$ con orden $3$ y $5$ respectivamente. Entiendo que son subgrupos normales y $H\cap K = \{e\}$ ya que $\gcd(3,5)=1$. Pero simplemente no veo por qué $HK = G$? Lo mejor que puedo hacer es concluir que $HK$ es un subgrupo de $G.

Answer 1

Sabemos que $H K$ es un subgrupo de $G$ que contiene a $H$ y $K$. Por el teorema de Lagrange, el orden de $H K$ es divisible por $3$ y $5$. Por lo tanto, $H K$ tiene un orden de $15$, por lo que $H K = G$.

Answer 2

Denotemos $H=\{h_1,h_2,h_3\}$ y $K=\{k_1,\dots,k_5\}$. Como $H\cap K = \{e\}$, si $h_{i_1}k_{j_1} = h_{i_2}k_{j_2}$, $\underbrace{h_{i_2}^{-1} h_{i_1}}_{\in H} = \underbrace{k_{i_2} k_{i_1}^{-1}}_{\in K} \in H\cap K = \{e\}$, por lo tanto $h_{i_1}=h_{i_2}$ y $k_{j_1}=k_{j_2}$. En otras palabras, un elemento en $HK$ está determinado de manera única por $h_i$ y $k_j$. Dado que $|HK| = |H||K| = 3 \times 5 = 15 = |G|$ y $HK$ es un subgrupo de $G$, tenemos que $HK = G.