Para cada matriz cuadrada $U$ existe una matriz diagonal $E$ con $e_{i,i}=-1 , 1 $ tal que $E U - I_n$ es no singular

Question

Para cada matriz cuadrada $U$ existe una matriz diagonal $E$ con $e_{i,i} = \pm 1$ tal que

1. $E U - I_n$ no es singular.
2. Si $U$ es unitaria entonces $EU$ también es unitaria

Nótese que todos los cálculos se realizan con coeficientes módulo $3$.

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Quiero demostrar esta afirmación, pero no tengo idea de cómo y por dónde empezar.

Answer 1

Para probar que $EU-I_n$ es una matriz no singular, es suficiente mostrar que $0$ no puede ser un eigenvalor de $EU-I_n$ o det$(EU-I_n) \ne 0$

Claramente $E^2=I_n,$ $EU-I_n$ $\Rightarrow$ $EU-E^2$

$E(U-E)$ (por la ley distributiva de matrices),

$det(E(U-E))\ne 0$ $\Rightarrow$ $det(E).det(U-E)\ne 0$ y claramente $det(E)=\pm1,$ $det(U-E)\ne 0$

Reclamación: $0$ no es un eigenvalor de $U-E$.

Supongamos

Caso1: $1$ es un eigenvalor de $U$ con (A.M=$r_1$) entonces en ese caso tomamos $-1$ con $r_1$ veces las entradas de $E$ para que $0$ no sea un eigenvalor de $E-U.$

caso2: $-1$ es un eigenvalor de $U$ con (A.M=$r_1$) entonces en ese caso tomamos $1$ con $r_1$ veces las entradas de $E$ para que $0$ no sea un eigenvalor de $E-U.$

caso 3: $1$ (A.M.=$r_1$) y $-1$ (A.M=$r_2$) entonces tomamos $-1$ (A.M.=$r_1$) y $1$ (A.M=$r_2$) entradas (o que son los mismos que los eigenvalores de $E$)

y para cualquier otro eigenvalor excepto $\pm1$ de $U$ siempre se obtiene un eigenvalor distinto de cero de $U-E.$

Por lo tanto $EU-I_n$ es una matriz no singular.

Answer 2

Como señalaron otros, dado que cualquier diagonal $E$ con elementos diagonales $1$ o $-1$ es su propia inversa, $EU-I_n$ es singular si y solo si $E^2U - E$ es singular, es decir si y solo si $U-E$ es singular.

Queremos demostrar que existe un $E$ con la forma dada tal que $U-E$ es singular.

Ahora el usuario1551 sugirió hacerlo mediante expansión de Laplace e inducción. Esa es, por supuesto, una muy buena forma: asumiendo (por inducción) que puedes encontrar los últimos $n-1$ elementos de $E$ de manera que $U_{2:n,2:n}-E_{2:n,2:n}$ sea singular, una expansión de Laplace a lo largo de la primera línea da $\det(U-E) = (U_{11}-E_{11})\det(U_{2:n,2:n}-E_{2:n,2:n})+cste$.

Ahora ves que si tomas $E_{11}=1$ en lugar de $E_{11}=-1$, cambias el determinante por $2\det(U_{2:n,2:n}-E_{2:n,2:n}) \neq 0$, por lo que una de las dos opciones produce un $U-E$ no singular. El caso base ($n=1$ o $n=0$, como prefieras) siendo obvio, eso termina la inducción.

Nota que esta demostración sigue funcionando si eliges $E$ con elementos diagonales en $\{a,b\}$ (en lugar de $\{-1,1\}$, con dos elementos diferentes $a, b$).

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Respecto a (ii), si $U$ es unitario, entonces $EU(EU)^T = EUU^TE^T=EI_nE^T=EE^T=E^2=I_n$.

Answer 3

Para probar que $EU-I_n $ es una matriz no singular, dado que $E^2=I_n$ entonces $EU-I_n=U-E.$

Supongamos \begin{equation*} U= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} \cdots & a_{2n} \\ \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \end{equation*} y $E=diag(\sigma_1, \sigma_2 \dots \sigma_n)$ entonces

\begin{equation*} U_{k+1}-E_{k+1}= \begin{pmatrix} a_{11}-\sigma_1 & a_{12} \cdots & a_{1k} & a_{1,k+1}\\ a_{21} & a_{22}-\sigma_2 \cdots & a_{2k} & a_{2,k+1}\\ \vdots\\ a_{k1} & a_{k2} \cdots & a_{k,k}-\sigma_k & a_{k,k+1} \\ a_{k+1,1} & a_{k+2,2} \cdots & a_{k+1,k} & a_{k+1,k+1}-\sigma_{k+1} \\ \end{pmatrix}_{k+1,k+1} \end{equation*} Ahora usando inducción matemática (PMI) y el complemento de Schur https://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_Schur

https://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Al aplicar PMI en la matriz $U-E$ obtenemos, obviamente para $n=1$ es verdadero, y supongamos para $n=k$ que es

det$(U_k-E_k)\ne 0$

entonces para $n=k+1,$ $det(U_{k+1}-E_{k+1})=det(a_{k+1,k+1}-\sigma_{k+1}).det((a_{k+1,k+1}-\sigma_{k+1})-Y(U_k-E_k)^{-1}X)$ donde $X=[a_{1,k+1},a_{2,k+1} \dots a_{k,k+1}]$ y $Y=[a_{k+1,1},a_{k+2,2} \dots a_{k+1,k}]$ claramente $det(a_{k+1,k+1}-\sigma_{k+1})\ne 0,$

Reclamación: $det((a_{k+1,k+1}-\sigma_{k+1})-Y(U_k-E_k)^{-1}X)\ne 0----(i)$

Sea $Y(U_k-E_k)^{-1}X= Z$ entonces (i) se convierte en $det(a_{k+1,k+1}-Z-\sigma_{k+1}) \ne 0$

Caso 1: si $a_{k+1,k+1}-Z =1 $ entonces se toma $\sigma_{k+1}=-1$ para que det$(U_{k+1}-E_{k+1}) \ne 0$

Caso 2: si $a_{k+1,k+1}-Z =-1 $ entonces se toma $\sigma_{k+1}=1$ para que det$(U_{k+1}-E_{k+1} )\ne 0$

Entonces es verdadero para $n=k+1$, por lo tanto, utilizando el principio de inducción matemática det$(U_n-E_n)\ne 0$ Por lo tanto, $EU-I_n $ es una matriz no singular.