¿Los ideales precipitados "siempre" vienen de colapsos?

Question

Es bien sabido que si $\kappa$ es un cardinal medible, entonces existe un poset $\mathbb{P}$ que fuerza a $\kappa$ a llevar un ideal precipitado.

Supongamos que $\omega_1$ lleva un ideal precipitado $I$.

Es razonable preguntarse si siempre hay un modelo interno $N$ del universo en el que $\omega_1^V$ es medible y para el cual hay un conjunto genérico de $N$ $G$ que colapsa $\omega^V_1$ y nos da $V=N[G]$.

La respuesta a esta pregunta es no. Utilizando un argumento de Reitz, podemos agregar un conjunto genérico de $V$ llamado $H$ tal que $V[H]$ satisface el axioma de tierra y aún así tiene un ideal precipitado en $\omega_1$. Pero $V[H]$ no tiene modelos internos que puedan acceder a él mediante una fuerza de conjunto en absoluto. Una manera de hacer esto es usar el genérico para codificar cada conjunto de ordinales cofinalmente en la función del continuo.

Dado esto, me gustaría hacer una pregunta diferente pero quizás relacionada.

Suponiendo aún que $\omega_1$ tiene un ideal precipitado $I$, ¿es siempre el caso que: hay un modelo transitivo $N$ de, digamos, $ZFC^-$ con $Ord^N>\omega_1^V$ y un genérico de $N$ llamado $G$ tal que $N$ piensa que $\omega_1^V$ es medible y, digamos, $$V^{N[G]}_{\omega^V_1+2}=V_{\omega^V_1+2}?$$

Espero que la intención aquí sea clara. Si ves algún error, siéntete libre de reformularlo. Quizás $ZFC^-$ sea demasiado fuerte o estoy pidiendo demasiado acuerdo y el teorema de Reitz aún pueda funcionar. No he pensado mucho al respecto, pero si fuera el caso, me gustaría considerar teorías más débiles y menos acuerdo. Esto tiene la sensación de algo folclórico, pero no tengo idea de dónde buscar.

Answer 1

Si existe $M_1^\#$ y es completamente iterable, entonces hay un modelo interno $M$ en el cual $\omega_1$ es medible y un genérico de $M$ llamado $G$ tal que $V_{\omega_1+2}\in M[G].$ Simplemente itera el primer ultrfiltro normal de $M_1$ para que su menor medida sea elevada a $\omega_1$; llama a la iteración resultante $P$. Luego realiza una iteración de genericidad de $P$ por encima de $\omega_1$ para obtener un modelo interno $M$ tal que $V_{\omega_1+2}$ es genérico sobre $M$ para el álgebra del extensor en su cardenal de Woodin.

Por otro lado, la respuesta a la versión de la pregunta de Joel es no en la extensión genérica de $M_1$ donde uno colapsa el cardinal de Woodin $\delta$ para convertirse en $\omega_2$. En este modelo $W$, hay un ideal pre-saturado en $\omega_1^W$. Pero supongamos hacia una contradicción que $N$ es un modelo interno de $W$ tal que $(V_{\omega_1+2})^W$ es genérico sobre $N$ y $\omega_1^W$ es medible en $N$. Dado que $M_1 = L[A]$ donde $A\subseteq \delta$ y cada $A\in P(\delta)\cap W$ es genérico sobre $N$, tenemos que $M_1$ está contenido en una extensión genérica de $N$. Por lo tanto, el manto de $M_1$ está contenido en $N$, y en particular, por el análisis de Fuchs-Schindler del manto de $M_1$, $\mathbb R^{M_1}\subseteq N$. Esto contradice que $\omega_1^{M_1}$ sea medible en $N$.