Ecuación diferencial estocástica de Ornstein-Uhlenbeck ayuda

Question

Considera la ecuación diferencial estocástica de Ornstein-Uhlenbeck: $$dX_t =aX_tdt+dW_t, X_0 =x_0 R$$ donde $a$ y $$ son constantes, y $W = (W_t)$, $t0$ es un movimiento browniano.

i) Utilizando la fórmula de Itô para el proceso $e^{at}X_t$ verifica que $X_t=X_0e^{-at}+\int\limits_o^t e^{-a(t-s)}dW_s$ y calcula $E[X_t]$ y $Var(X_t)$

ii) Deriva una ecuación diferencial estocástica para el proceso $Y=(Y_t)_{t0}$, donde $Y_t = X^{2}_t$

He logrado completar la parte i) pero no tengo idea de cómo completar la parte ii). ¿Debo seguir un método similar al de la parte i), pero en lugar de utilizar la fórmula de Itô para el proceso $e^{at}X^{2}_t$?

Gracias

Answer 1

No, simplemente use la fórmula de Itô nuevamente para $Y_t = f(X_t,t) = X_{t}^{2}$. Entonces \begin{equation} dY_t = \dfrac{\sigma^2}{2}\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,t) dt + \dfrac{\partial f}{\partial x}(X_t,t)dX_t = \\ \left( \sigma^2 - 2aY_{t} \right)dt + 2\sigma \sqrt{Y_t} dW_t. \end{equation}