¿Diferenciar bajo el signo integral para la integral iterada?

Question

Esta es una pregunta un poco trivial, pero como no sé la respuesta de inmediato pensé que simplemente preguntaría.

Dado la integral $\int_{0}^{t} \int_{0}^{t} f(x,x') dx dx'$, ¿cuál es $\frac{\partial}{\partial t} \int_{0}^{t} \int_{0}^{t} f(x,x') dx dx'$? Parece un poco como diferenciar bajo el signo integral, pero no estoy seguro de cómo manejarlo.

Answer 1

Como de costumbre al diferenciar algo con respecto a una variable que aparece dos veces. La regla de la cadena para derivadas parciales.

Por ejemplo, consideremos la función $z = f(u,v)$. Supongamos que queremos $(d/dt)f(t,t)$. Sea $u=v=t$ y usemos $dz/dt = (\partial z/\partial u)(du/dt) + (\partial z/\partial v)(dv/dt)$.

Así que… $$ \frac{d}{dt}\int_0^t\int_0^t f(x,y)\,dx\,dy = \int_0^t f(t,y)\,dy + \int_0^t f(x,t)\,dx $$

A propósito, ¿por qué escribiste $\partial/\partial t$ para diferenciar una función de la única variable $t$? No está mal, simplemente confunde a los estudiantes.