Simplificar una proposición

Question

No puedo pensar en nada concreto,

$$ [\overline{(p \wedge q)} \wedge r] \vee [p \wedge \overline{( q \wedge r)}] \Leftrightarrow \, ? $$

¡Gracias!

Answer 1

Primero, usaré la negación $\lnot$: $\lnot (p \land q)$ para denotar $\overline{(p\land q)}$, etc.

Así que primero déjame escribir la expresión equivalente a tu expresión, usando $\lnot$ (el lado izquierdo de $\equiv$).

$$[\lnot(p\land q)] \land r] \lor [p \land \lnot (q \land r)]\equiv [\overline{(p \wedge q)} \wedge r] \vee [p \wedge \overline{( q \wedge r)}] $$

Necesitamos DeMorgan dos veces: por ejemplo, $\lnot (p \land q) \iff \lnot p \lor \lnot q, \quad $ o $$\overline{(p \land q)} \iff \overline p \lor \overline q$$

Necesitamos la reglas distributiva dos veces: $(\lnot p\lor \lnot q) \land r \iff (\lnot p \land r) \lor (\lnot q \land r)\quad $ O

$$ (\overline p \lor \overline q)\land r \iff (\overline p \land r) \lor (\overline q \land r)$$

Eso nos lleva a, usando tu notación:

$$(\overline p\land r)\lor(\overline q\land r)\lor(p\land\overline q)\lor(p\land\overline r)$$

Esto está en _forma normal disyuntiva_.

Hay muchas expresiones que pueden ser equivalentes a esta; qué exactamente cuenta como simplificado, necesita más especificación.

Si necesitas determinar el valor de verdad de la proposición, entonces necesitas usar algo así como una tabla de verdad para determinar y mostrar los valores de las 8 asignaciones posibles de verdad de $p, q, r$. Es decir, tu proposición no es "intrínsecamente verdadera" para todos los valores de $p, q, r$ (no es una tautología), ni es intrínsecamente falsa (no es una contradicción).

Answer 2

No estoy seguro de si la siguiente forma equivalente cuenta como una simplificación, pero me gusta: $(p\lor r)\land\neg(p\land q\land r)$.