Demostrar que la matriz con parámetro es definitivamente positiva

Question

Quiero demostrar que la siguiente matriz es positiva definida para $a \in (0.5,1)$. \begin{align} A = \begin{bmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{bmatrix} \end{align>

Sea $x,y,z \in \mathbb{R}$:

\begin{align} \begin{bmatrix} x & y & z \end{bmatrix} \cdot A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = x^2+y^2+z^2+2a(yx+zx+zy) \end{align> Obviamente, $x^2+y^2+z^2 \geq 0$, $\forall x,y,z \in \mathbb{R}$. Lo que queda por demostrar es que

\begin{align}2a(yx+zx+zy) > 0\end{align>

¿Alguna idea? ¡Gracias!

Answer 1

La matriz $ A $ es definida positiva si y solo si los determinantes principales son positivos, por lo tanto si y solo si: $$1>0\; \text {y}\; \det \begin{bmatrix} 1 & a \\ a & 1 \\ \end{bmatrix}=1-a^2>0\; \text {y}\; \det A =(2a+1)(a-1)^2>0\iff a\in(-0.5,1) $$

Answer 2

No se puede demostrar que $2a(yx + zx + zy)> 0$ porque ese no es siempre el caso. Sin embargo, se puede decir que en el caso de que $(yx + zx + zy) < 0,$ $$ \begin{align} x^2 + y^2 + z^2 + 2a(yx + zx + zy) &> x^2 + y^2 + z^2 + 2(yx + zx + zy) \\ &= (x+y+z)^2 \geq 0 \end{align} $$ Lo cual lleva a la conclusión deseada.

Alternativamente, es suficiente simplemente verificar que todos los subdeterminantes principales principales de $A$ sean positivos (ver la cuarta explicación en esta lista).