Derivadas arbitrarias de las funciones de base de Lagrange

Question

Las funciones de base de Lagrange se dan por \begin{align} \phi_k(x) =\prod_{j\not = k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j} \end{align> Intento reproducir los resultados numéricos de un documento. En este documento, la derivada fraccionaria de $\phi$ debe ser calculada. Esto se hace aproximando $\phi$ por su expansión de Taylor y luego usando resultados analíticos para derivadas fraccionarias de polinomios.

La expansión de Taylor de $\phi_k$ se da por \begin{align} \phi_k(x) \approx \sum_{m=0}^N\phi_k^{(m)}(0)\frac{x^m}{m!} \end{align> Ahora en el documento, no hay información sobre el cálculo de $\phi^{(m)}(0)$. Dado que se dice que el método es de alto orden, dudo que diferencias finitas sean el camino a seguir. Para $N=1,2$ encontré resultados analíticos para $\phi^{(m)}(x).

¿Hay algún resultado para $\phi_k^{(m)}(0)$ en la literatura? Si ayuda, los $x_i$ son los puntos de Gauss Lobatto. Dado que estoy realizando un análisis de convergencia y no un análisis de rendimiento, un método lento pero robusto es preferible sobre un método rápido e inexacto.

¡Gracias!

Answer 1

La base monomial, $\pmb m(x) = (1,x,x^2,x^3\ldots,x^n)^T$ debería ser más fácil de trabajar al aplicar el operador $D^{k}_0=\frac{d^k}{dx^k}\mid_{x=0}$ que la base Lagrange, $\pmb l(x)$. Vamos a encontrar la transformación entre las dos bases.

El polinomio interpolante de Lagrange $P_n(x)$ es la suma $$ P_n(x)=\sum_{i=0}^n f_il_i(x)=\pmb f^T\pmb l(x) $$ Si elegimos interpolar funciones $f$ que son polinomios de grado $k\leq n$, entonces obviamente $P_n(x)\equiv f(x)$. Tomemos $f$ de la lista monomial, $\pmb m$. Por ejemplo, si $f(x)=x^k$, entonces $$ \sum_{i=0}^n x^k_il_i(x)=x^k $$ y así, podemos escribirlo con la matriz de Vandermonde $V$ como $$ V^T \pmb l(x)=\pmb m(x) $$ Dado que la matriz de Vandermonde es invertible (para nodos distintos), tenemos, $$ \pmb l(x)=V^{-T}\pmb m(x). $$ Usando esta transformación, que de hecho es la serie de Maclaurin de $\pmb l(x)$, es fácil ver que la k-ésima derivada en 0 de la columna de los polinomios base de Lagrange es proporcional a la k-ésima columna de la matriz de Vandermonde transpuesta inversa, $$ D^{k}_0[\pmb l(x)]=k!\left[V^{-T}\right]_k $$ Para las derivadas $0\leq k\leq n$, podemos escribir para la matriz $[A]_k^i=l_i^{(k)}(x)\mid_{x=0}$ $$ A=V^{-T}\operatorname{diag}(k!)_{k=0}^n. $$