Hay varias formulaciones equivalentes de lo que significa ser un ordinal. Por ejemplo:
- $x$ es un ordinal si $x$ es un conjunto transitivo que está bien ordenado por $\in$.
- $x$ es un ordinal si es un conjunto transitivo cuyos elementos son todos conjuntos transitivos.
- $x$ es un ordinal si todos sus elementos son ordinales, y $x$ es transitivo (nota que hay una inducción escondida en esta definición, y funciona mejor si ya tienes alguna definición de "ordinal" primero).
Por lo tanto, para demostrar que $\omega$ es un ordinal, necesitas elegir la definición que quieres usar y mostrar que $\omega$ cumple con esta definición. Cómo hacerlo depende de la definición en sí.
Si eliges la tercera definición, por ejemplo, entonces puedes demostrar por inducción que efectivamente cada $n$ es un ordinal, luego demostrar que $\omega$ es un conjunto transitivo.
Si eliges la primera definición, entonces necesitas demostrar que cada par de enteros es comparable por $\in$ y que $\omega$ es transitivo. Esto se puede hacer por inducción.
Si eliges la segunda definición, entonces necesitas demostrar que cada $n$ finito es un conjunto transitivo, luego mostrar que $\omega$ es transitivo. Nuevamente, esto se puede hacer por inducción.
Así que el punto es que para demostrar que $\varnothing$ es un ordinal, etc., necesitas elegir una definición de un ordinal, y luego mostrar que se cumple para $\varnothing$ (todas se cumplen prácticamente vacíamente), y luego por inducción demostrar que si $n$ es un ordinal, también lo es $n\cup\{n\}$. Y esto depende de la definición de un ordinal.
