¿Puede una función continua no trivial "deshacer" las discontinuidades de otra función?

Question

Disculpas por el título poco claro, no tengo idea si la propiedad que estoy buscando tiene un nombre mejor.

Me pregunto si existe un par de funciones $f, g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que :

1. $g$ es una biyección y en ningún lugar es continua (para un ejemplo, ver esta respuesta).
2. $f$ es continua y no constante.
3. $f \circ g$ es continua.

Answer 1

Esto es posible. De hecho, el $g$ en la respuesta a la que enlazaste funcionará. Recuerda que $g$ está definido por,

$$g(x) = \begin{cases} x + 1 &, x \in \mathbb{Q}\\ x &, x \notin \mathbb{Q}\end{cases}$$

Sea $f(x) = \sin(2\pi x)$. Entonces $f$ es periódica con período $1$, por lo que $f \circ g(x) = \sin(2\pi x)$, que es continua.

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Aquí tienes una respuesta a una pregunta adicional que el OP publicó en los comentarios: es decir, si para cualquier $g$ siempre existe un $f$ que cumple con los requisitos de la pregunta. La respuesta es no, como demuestra el siguiente ejemplo.

Sea $\{E_i\}_{i \in I}$ la colección de clases de equivalencia (de números reales) bajo la relación de equivalencia $x - y \in \mathbb{Q}$. Sea $\{E_n\}_{n=1}^\infty$ una colección numerable infinita de tales clases de equivalencia. Sea $\{q_n\}_{n=1}^\infty$ una enumeración de racionales con $q_1 = 0$. Define $g$ por,

$$g(x) = \begin{cases} x + q_n &, x \in E_n\\ x &, \, \mathrm{otherwise}\end{cases}$$

Dado que cada $E_n$ es denso, no es difícil verificar que $g$ es biyectivo y en ninguna parte continua. Ahora supongamos que $f$ es una función continua tal que $f \circ g$ es continua. Observa que, en $E_n$, $f \circ g(x) = f(x + q_n)$. Por la densidad de $E_n$ y la continuidad de las funciones en ambos lados, vemos que debe cumplirse $f \circ g(x) = f(x + q_n)$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Pero esto significa,

$$f(0) = f(0 + q_1) = f \circ g(0) = f(0 + q_n) = f(q_n)$$

para todo $n$. Por lo tanto, $f$ es constante en los racionales. Dada la continuidad de $f$ y la densidad de los racionales, concluimos que $f$ debe ser constante.