Pregunta básica sobre la expectativa condicional siendo en $L^2$

Question

Supongamos que $X,Y$ son variables aleatorias en $L^2(\Omega,\mathcal{F};\mathbb{P})$, donde $(\Omega,\mathcal{F};\mathbb{P})$ es un espacio de probabilidad completo. Entonces la esperanza condicional $E[X|\sigma(Y)]$ puede representarse como una función medible $$ g(Y)=E[X|\sigma(Y)], $$ ver página 83.

Esta puede ser una pregunta tonta, pero ¿se le puede dar significado al mapeo $$ y\mapsto E[X|\sigma(Y^{-1}[y])], $$ (o una modificación de éste), si es así, ¿también está en $L^2(\Omega,\mathcal{F};\mathbb{P})$ (o al menos en $L^2(\Omega,\mathcal{F};\mathbb{P})$ para algún $p \in [1,\infty)$)?

Answer 1

Arregla una versión medible de $g$ y define $E(X|Y=y)$ como $g(y)$. Nota que $g(Y) \in L^{2}$.